Zadanie nr 6313003
Ciąg jest określony dla
i spełnia warunek
![3an +3 − an+1 = an − 3an +2 dla n ≥ 1.](https://img.zadania.info/zad/6313003/HzadT2x.gif)
Oblicz sumę dwóch początkowych wyrazów ciągu jeżeli suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2016.
Rozwiązanie
Zapiszmy dany warunek w postaci
![3a + 3a = a + a / : 3 n+ 2 n+3 n n+1 1- an+ 2 + an+3 = 3 (an + an+1).](https://img.zadania.info/zad/6313003/HzadR0x.gif)
Warunek ten oznacza, że ciąg
![b1 = a1 + a2 1 1 b2 = a3 + a4 = -(a1 + a2) = --b1 3 3 b3 = a5 + a6 = 1(a3 + a ) = 1-b2 = -1b 3 4 3 32 1 ... bn = a2n− 1 + a 2n](https://img.zadania.info/zad/6313003/HzadR1x.gif)
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie . Suma wszystkich wyrazów ciągu
jest dokładnie taka sama jak suma wszystkich wyrazów ciągu
, więc korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego mamy
![b1 b 1 3 2 201 6 = 1-−-q-= ----1-= 2b1 / ⋅ 3- 1− 3 2- a1 + a2 = b1 = 201 6⋅ 3 = 134 4.](https://img.zadania.info/zad/6313003/HzadR5x.gif)
Odpowiedź: