Zadanie nr 9570384
Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 6, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
. Dla jakich naturalnych
spełniona jest nierówność
?
Rozwiązanie
Z podanych informacji mamy układ równań
![{ 2 2 6 = a1 + a1q+ a1q = a1(1 + q + q ) 136= 1a−1q- ⇒ a1 = 163 (1 − q).](https://img.zadania.info/zad/9570384/HzadR0x.gif)
Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy
![16- 2 6 = 3 (1 − q)(1 + q + q ) 3 18 = 1 6(1− q ) 9 = 8 − 8q 3 8q3 = − 1 ⇒ q = − 1. 2](https://img.zadania.info/zad/9570384/HzadR1x.gif)
Zatem i
![n 1 n 1 n 1−--q-- 1-−-(−-2)-- 16-−-16(−-2-)- Sn = a1 ⋅ 1 − q = 8 ⋅ 3 = 3 2](https://img.zadania.info/zad/9570384/HzadR3x.gif)
Przekształćmy teraz wyrażenie .
![16 1 6− 1 6(− 1)n 16(− 1)n S − Sn = ---− -----------2-- = -----2--. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/9570384/HzadR5x.gif)
Pozostało rozwiązać nierówność
![| | ||1 6(− 1)n|| 1 |------2--| < --- | 3 | 9 6 16 (1)n ----2-- < 1-- ( 3) 96 1- n --1---- 2 < 32 ⋅16 -1-< -1- 2n 29 29 < 2n ⇒ 9 < n.](https://img.zadania.info/zad/9570384/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: Dla .