Zadanie nr 1877917
Na jednym z ramion kąta ostrego o wierzchołku i mierze
wybrano punkty
, a na drugim ramieniu punkty
w ten sposób, że
,
oraz
dla wszystkich
.
Wykaż, że długość nieskończonej łamanej jest równa
.
Rozwiązanie
Z trójkąta prostokątnego mamy

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny (lub ogólniej
). Ponieważ
(lub ogólnie
) mamy

(ogólnie ).
Podobnie, z trójkąta prostokątnego (lub ogólnie
) mamy

(ogólnie ).
To oznacza, że kolejne odcinki łamanej są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego , w którym
i
. Suma tego ciągu jest równa

Teraz korzystamy ze wzorów na i
.
