/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 8391110

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym a1 < 0 . Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność S ≥ 9a2 − 3a1 . Wykaż, ze 3a2023 = 2a2022 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez q iloraz ciągu (an) . Jeżeli istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu (an) , to |q| < 1 . Wiemy ponadto, że

a1 ------= S ≥ 9a 2 − 3a 1 = 9a1q − 3a1 / : a1 1 − q --1--- 1 − q ≤ 9q − 3 / ⋅(1− q) 2 1 ≤ (1 − q)(9q − 3 ) = − 9q + 12q − 3 2 9q − 12q + 4 ≤ 0 (3q − 2)2 ≤ 0

Otrzymana nierówność oznacza, że q = 2 3 . W takim razie

2- a2023 = a2022 ⋅q = 3a2022 ⇒ 3a2023 = 2a2022.
Wersja PDF