Zadanie nr 9241438
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny , który zawiera zarówno wyrazy dodatnie, jak i ujemne, w którym
, oraz drugi, czwarty i piąty wyraz są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu
jest równa sumie kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez iloraz danego ciągu – ponieważ ciąg zawiera wyrazy różnych znaków mamy oczywiście
. Z podanej informacji o ciągu arytmetycznym mamy

Widać, że jednym z pierwiastków powyższego równania jest . Aby wyznaczyć pozostałe pierwiastki, dzielimy ten wielomian przez
– my jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.

Rozkładamy trójmian w drugim nawiasie.

Ustaliliśmy wcześniej, że , więc drugi pierwiastek odrzucamy i mamy

To oznacza, że szereg geometryczny odpowiadający ciągowi jest zbieżny (tzn. suma wyrazów ciągu
jest skończona).
Spróbujmy teraz zastanowić się nad tym, co mamy udowodnić. Ciąg sześcianów wyrazów ciągu , czyli ciąg
jest też ciągiem geometrycznym, ale o ilorazie
.

Podobnie ciąg kwadratów jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
. Mamy więc udowodnić, że

Wystarczy teraz zauważyć, że powyższe równanie to to samo równanie, z którego obliczyliśmy . To oznacza, że rzeczywiście suma wyrazów ciągu
jest równa sumie wyrazów ciągu
.