Oznaczmy przez iloraz danego ciągu – ponieważ ciąg zawiera wyrazy różnych znaków mamy oczywiście . Z podanej informacji o ciągu arytmetycznym mamy

Widać, że jednym z pierwiastków powyższego równania jest . Aby wyznaczyć pozostałe pierwiastki, dzielimy ten wielomian przez – my jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.

Rozkładamy trójmian w drugim nawiasie.

Ustaliliśmy wcześniej, że , więc drugi pierwiastek odrzucamy i mamy

To oznacza, że szereg geometryczny odpowiadający ciągowi jest zbieżny (tzn. suma wyrazów ciągu jest skończona).

Spróbujmy teraz zastanowić się nad tym, co mamy udowodnić. Ciąg sześcianów wyrazów ciągu , czyli ciąg jest też ciągiem geometrycznym, ale o ilorazie .

Podobnie ciąg kwadratów jest ciągiem geometrycznym o ilorazie . Mamy więc udowodnić, że

Wystarczy teraz zauważyć, że powyższe równanie to to samo równanie, z którego obliczyliśmy . To oznacza, że rzeczywiście suma wyrazów ciągu jest równa sumie wyrazów ciągu .