Oznaczmy przez iloraz danego ciągu – ponieważ ciąg zawiera wyrazy różnych znaków mamy oczywiście
. Z podanej informacji o ciągu arytmetycznym mamy
Widać, że jednym z pierwiastków powyższego równania jest . Aby wyznaczyć pozostałe pierwiastki, dzielimy ten wielomian przez
– my jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.
Rozkładamy trójmian w drugim nawiasie.
Ustaliliśmy wcześniej, że , więc drugi pierwiastek odrzucamy i mamy
To oznacza, że szereg geometryczny odpowiadający ciągowi jest zbieżny (tzn. suma wyrazów ciągu
jest skończona).
Spróbujmy teraz zastanowić się nad tym, co mamy udowodnić. Ciąg sześcianów wyrazów ciągu , czyli ciąg
jest też ciągiem geometrycznym, ale o ilorazie
.
Podobnie ciąg kwadratów jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
. Mamy więc udowodnić, że
Wystarczy teraz zauważyć, że powyższe równanie to to samo równanie, z którego obliczyliśmy . To oznacza, że rzeczywiście suma wyrazów ciągu
jest równa sumie wyrazów ciągu
.