/Szkoła średnia/Nierówności/Z kropkami

Zadanie nr 3235592

Rozwiąż nierówność

( ) 2 ( )n --2x---+ --2x--- + ⋅⋅⋅+ -2x---- + ⋅⋅⋅ ≤ 0. x2 − 3 x2 − 3 x2 − 3
Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy najpierw ustalić jaka jest dziedzina lewej strony (szereg musi być zbieżny).

− 1 < --2x---< 1 x2 − 3 --2x--- --2x--- − 1 < x2 − 3 ∧ x2 − 3 < 1 2 2 0 < 2x-+--x-−--3 ∧ 2x-−-x--+-3-< 0 x2 − 3 x 2 − 3 Δ = 4+ 12 = 16,x1 = − 3,x2 = 1 ∧ Δ = 4 + 12 = 16,x1 = − 1,x 2 = 3 0 < --(x-+√-3-)(x−--1√)-- ∧ -−-(x+√--1)(x-−√3)--< 0 (x − 3 )(x+ 3) (x− 3)(x + 3) √ -- √ -- √ -- √ -- x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (− 3,1 )∪ ( 3,+ ∞ ) ∧ x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (− 1, 3) ∪ (3,+ ∞ ) x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (− 1,1 )∪ (3,+ ∞ ).

Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego S = a11−q- mamy nierówność

2x --x2−-3-- 1 − --2x- ≤ 0 x2− 3 -----2x----- x 2 − 3 − 2x ≤ 0 Δ = 4+ 12 = 16, x1 = − 1, x 2 = 3 ------2x------- (x + 1)(x − 3 ) ≤ 0 x ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ ⟨0,3).

Łącząc oba otrzymane warunki, dostajemy

x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ ⟨0,1 ).

 
Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ ⟨0,1)

Wersja PDF