/Szkoła średnia/Nierówności/Z kropkami

Zadanie nr 6683433

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f o dziedzinie (− ∞ ,−2 )∪ (2,+ ∞ ) jest określona jako nieskończona suma

f(x) = x + 2+ 4-+ -8-+ ... x x 2

Wykres funkcji y = g(x) powstaje z wykresu funkcji y = f (x) przez przesunięcie o wektor [− 2,− 2] . Rozwiąż nierówność g(x) ≤ 7 .

Rozwiązanie

Suma, która definiuje funkcję f to suma kolejnych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 = x i ilorazie q = 2x . Mamy zatem

a1 x x 2 f(x ) = 1-−-q-= ----2-= x−--2. 1− x

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji y = f (x) o wektor [− 2,− 2] (czyli o 2 jednostki w lewo i dwie jednostki w dół), to otrzymamy funkcję

-(x-+-2)2--- g (x) = f(x + 2) − 2 = (x+ 2)− 2 − 2 = 2 x--+-4x-+-4- 4- = x − 2 = x + 2 + x .

Dziedziną funkcji g jest zbiór

(− ∞ ,− 4) ∪ (0,+ ∞ ).

Pozostało więc rozwiązać nierówność

4- x+ 2+ x ≤ 7 2 x--−-5x-+-4-≤ 0. x

Rozłóżmy trójmian w liczniku.

Δ = 25 − 16 = 9 5 − 3 5 + 3 x = --2---= 1 lub x = --2---= 4.

Mamy więc nierówność

(x − 1 )(x− 4) --------------- ≤ 0, x

która przy założeniu x ⁄= 0 jest równoważna nierówności

x(x − 1)(x − 4) ≤ 0 .

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór

x ∈ (− ∞ ,0) ∪ [1 ,4 ].

To jeszcze nie koniec, bo musimy uwzględnić dziedzinę funkcji g . Otrzymujemy więc

x ∈ (− ∞ ,− 4) ∪ [1,4 ].

Na koniec wykres dla ciekawskich.

ZINFO-FIGURE

 
Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,− 4) ∪ [1,4]

Wersja PDF