/Szkoła średnia/Nierówności/Z kropkami

Zadanie nr 7785616

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność 2 3 3+-√3- 1 + tg x+ tg x + tg x + ...≤ 2 w zbiorze ⟨0;2π ⟩ .

Rozwiązanie

Aby lewa strona była zbieżnym szeregiem geometrycznym musimy mieć |q| = |tgx | < 1 . Mamy wtedy

√ -- ---1---- ≤ 3-+---3- 1 − tgx 2 √ -- 2 ≤ (3 + 3)(1 − tg x) 2 ----√---≤ 1− tg x 3 + 3√ -- 2(3-−---3)- 9− 3 ≤ 1− tg x √ -- √ -- tg x ≤ 1 − 3-−---3-= --3. 3 3

Uwzględniając założenie ⟨0;2π ⟩ oraz warunek tg x > − 1 daje to nam

⟨ ⟩ ( ⟩ ( ⟩ x ∈ 0, π ∪ π − π-,π + π- ∪ 2π − π-,2π 6 ( 4 ⟩ (6 ⟩ 4 ⟨ π-⟩ 3π- 7π- 7-π x ∈ 0,6 ∪ 4 , 6 ∪ 4 ,2 π

 
Odpowiedź: ⟨ ⟩ ( ⟩ ( ⟩ x ∈ 0 , π ∪ 3π-, 7π ∪ 7π,2π 6 4 6 4

Wersja PDF