/Szkoła średnia/Nierówności/Z kropkami

Zadanie nr 8260299

Rozwiąż nierówność, której lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego

1 2 4 4 --2 + -3-+ --4 + ⋅ ⋅⋅ ≤--. x x x 21
Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze musimy sprawdzić kiedy szereg geometryczny z lewej strony nierówności jest zbieżny. Oczywiście musi być x ⁄= 0 . Ponadto jest to szereg o ilorazie q = 2x , więc musi być spełniona nierówność

| | ||2-||< 1 |x | 2 --- < 1 /⋅ |x | |x| |x | > 2 ⇐ ⇒ x ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (2,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

-1 4--≥ -a1---= --x2-- = ----1--- 21 1− q 1 − 2x x 2 − 2x 2 0 ≥ ---1----− -4- = 21-−-4-(x-−--2x) / ⋅(− 2 1) x2 − 2x 2 1 21 (x2 − 2x) 2 0 ≤ 4x--−-8x-−-21- x (x− 2)

Rozłóżmy trójmian w liczniku tego ułamka.

2 0 = 4x − 8x − 21 Δ = 82 + 4⋅4 ⋅21 = 4 00 = 202 8−--20- 12- 3- 8-+-20- 28- 7- x = 8 = − 8 = − 2 lub x = 8 = 8 = 2 .

Powyższa nierówność jest więc równoważna nierówności

( ) ( ) 3 7 0 ≤x x + -- x− -- (x − 2), x ⁄= 2 , x ⁄= 0 ( 2 ⟩ 2 ⟨ ) 3- 7- x ∈ − ∞ ,− 2 ∪ (0,2) ∪ 2,+ ∞

W połączeniu z wcześniej wyliczonym warunkiem na q , dostajemy zbiór rozwiązań:

⟨ 7 ) x ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ -,+ ∞ . 2

 
Odpowiedź: ⟨ ) x ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ 72,+ ∞

Wersja PDF