/Szkoła średnia/Nierówności/Z kropkami

Zadanie nr 9404528

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność − sin 3x − sin 3x − sin 3x 2 + 4 + 8 + ⋅⋅ ⋅ ≤ 1 , gdzie x ∈ ⟨0;2π ⟩ .

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy nierówność w postaci

− sin 3x − 2sin3x − 3sin3x 2 + 2 + 2 + ⋅⋅⋅ ≤ 1,

to widać, że lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym, o ile

− sin 3x |2 | < 1 2 −sin3x < 20 − sin 3x < 0 sin 3x > 0.

Mamy wtedy nierówność

2− sin3x -----−-sin3x-≤ 1 1 − 2 2− sin3x ≤ 1 − 2− sin 3x −sin3x 2⋅ 2 ≤ 1 21−sin 3x ≤ 20 1− sin 3x ≤ 0 1 ≤ sin3x sin 3x = 1 ⇒ π- π- 2kπ- 3x = 2 + 2k π ⇒ x = 6 + 3

Uwzględniając podany przedział otrzymujemy

{ } π- 5π- 3π- x ∈ 6, 6 , 2 .

 
Odpowiedź: { π- 5π--3π} x ∈ 6, 6 , 2

Wersja PDF