Zadanie nr 1193070

Rozwiąż równanie

( ) ( ) √ -- sin x+ π- ⋅cos x + π- = --2. 4 4 4

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

sin 2α = 2 sinα cos α.

Przekształcamy dane równanie

( π ) ( π ) √ 2- sin x + -- ⋅cos x + -- = ---- / ⋅2 4 4 4√ -- ( π ) ( π ) 2 2sin x + -4 ⋅co s x + 4- = -2-- ( ) √ -- sin 2x + π- = --2-. 2 2

Szkicujemy teraz sinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie.

π- π- π- π- 2x + 2 = 4 + 2kπ lub 2x+ 2 = π − 4 + 2k π π π π π 2x = − --+ --+ 2kπ lub 2x = -- − -- + 2kπ / : 2 π2 4 π 2 4 x = − --+ kπ lub x = --+ kπ 8 8

Sposób II

Tym razem skorzystamy najpierw ze wzorów sinus i cosinus sumy

sin (α+ β) = sin αcos β + sinβ cos α co s(α+ β) = cos αco sβ − sin αsin β.

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci

√ -- ( ) ( ) --2-= sin x+ π- ⋅cos x + π- = 4 ( 4 4 ) ( ) π- π- π- π- = sin xcos 4 + sin 4 cosx cosx cos 4 − sin xsin 4 = √ -- √ -- = --2-⋅--2-⋅(sin x+ cosx )(cosx − sin x) / ⋅2 √ -- 2 2 2 2 2 ----= cos x − sin x = cos 2x. 2

Szkicujemy teraz cosinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

2x = − π-+ 2kπ lub 2x = π- + 2kπ / : 2 4 4 x = − π-+ kπ lub x = π-+ kπ. 8 8

Odpowiedź: x = − π8-+ kπ lub x = π8-+ kπ , k ∈ Z