/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 1452081

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie

sin 4x − sin2x = 4 cos2x − 3

w zbiorze [0,2π ] .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

sin 2x = 2sin xcos x co s2x = 2cos2 x− 1.

Przekształcamy równanie w sposób równoważny.

2 sin 4x − sin2x = 4co s x − 3 2 sin 2x cos2x − sin 2x = 2 (2cos2 x− 1)− 1 sin 2x(2 cos2x − 1) = 2co s2x − 1 sin 2x(2 cos2x − 1)− (2 cos 2x− 1) = 0 (2 cos2x − 1 )(sin 2x − 1) = 0 1- co s2x = 2 ∨ sin 2x = 1.

Szkicujemy sinusa i cosinusa i odczytujemy rozwiązania.

ZINFO-FIGURE

Musimy przy tym trochę uważać, bo x ∈ [0,2π ] , ale 2x ∈ [0 ,4π] . Mamy zatem

{ } π- π- π- π- π- 5π- 2x ∈ 3 ,2π − 3 ,2π + 3,4π − 3 ,2 , 2 { } 2x ∈ π-, 5π-, 7-π, 11π-, π-, 5π / : 2 3 3 3 3 2 2 { π 5π 7 π 11π π 5π } x ∈ --,---,---, ----,--,--- . 6 6 6 6 4 4

 
Odpowiedź: { } x ∈ π-, 5π, 7π-, 11π, π-, 5π 6 6 6 6 4 4

Wersja PDF