Zadanie nr 2440309

Rozwiąż równanie 4sin 4xco s6x = 2sin1 0x+ 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzorów na sinus sumy i różnicy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α sin (α− β) = sinα cos β− sin β cos α.

Przekształcamy równanie.

4 sin 4x cos6x = 2sin(4x + 6x)+ 1 4 sin 4x cos6x = 2sin 4x cos6x + 2 sin6x cos 4x + 1 − 1 = 2sin 6x cos4x − 2 sin4x cos 6x / : 2 − 1-= sin(6x − 4x) = sin 2x. 2

Szkicujemy teraz wykres sinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

π π 2x = − 6-+ 2kπ lub 2x = − π + -6 + 2kπ / : 2 x = − π--+ kπ lub x = − 5π- + kπ . 12 12

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusów

sinα − sin β = 2 sin α-−-β-co s α-+-β 2 2

Aby móc zastosować ten wzór szukamy i tak, aby

{ α− β -2--= 4x α+-β= 6x 2

Dodajemy i odejmujemy równania stronami i mamy α = 1 0x , β = 2x . Równanie możemy więc zapisać w postaci

2⋅ 2sin 10x-−-2x-cos 10x-+-2x-= 2 sin 10x + 1 2 2 2(sin 10x − sin2x ) = 2 sin 10x + 1 / : 2 sin2x = − 1-. 2

Rozwiązania odczytujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: x = − π-+ kπ lub x = − 5π-+ kπ 12 12 , k ∈ Z