Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2443553

Rozwiąż równanie  2 sin5x + 2sin x+ sin x = 1 w przedziale ⟨− π,π ⟩ .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

 α + β α − β sinα + sin β = 2 sin ------co s------ 2 2 cos 2α = 1 − 2 sin 2α.

na sumę sinusów i cosinus podwojonego kąta. Przekształcamy dane równanie

 sin 5x+ sin x = 1− 2 sin2x 2sin 5x-+-x-cos 5x-−-x-= cos2x 2 2 2sin 3xco s2x = cos2x ( ) 0 = cos 2x(1 − 2 sin 3x) = 2cos 2x 1-− sin 3x 2 1 cos2x = 0 lub sin 3x = --. 2

Szkicujemy sinusa i cosinusa – trzeba trochę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨− π ,π ⟩ , ale 2x ∈ ⟨− 2π,2π ⟩ i 3x ∈ ⟨− 3π ,3π ⟩ .


PIC


Z wykresu odczytujemy rozwiązania

 { } { } 2x ∈ − 3π-,− π-, π-, 3π lub 3x ∈ − 2π + π-,− π − π-, π,π − π-,2π + π-,3π − π- 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 { 3π π π 3π } { 1 1π 7π π 5π 13π 17 π} x ∈ − ---,− --,--,--- lub x ∈ − ---- ,− ---,--, ---,----,---- { 4 4 4 4 18 18 18} 18 18 18 3π- 11π- 7-π π- π--π- 5-π 13π- 3π- 17π- x ∈ − 4 ,− 18 ,− 18,− 4, 18, 4, 18, 1 8 , 4 , 18

 
Odpowiedź:  { } x ∈ − 3π,− 11π,− 7π-,− π, π-, π, 5π-, 13π, 3π-, 17π 4 18 18 4 18 4 18 18 4 18

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!