Zadanie nr 2443553

Rozwiąż równanie 2 sin5x + 2sin x+ sin x = 1 w przedziale ⟨− π,π ⟩ .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

sinα + sin β = 2 sin α-+-β-co s α-−-β 2 2 cos 2α = 1 − 2 sin 2α.

na sumę sinusów i cosinus podwojonego kąta. Przekształcamy dane równanie

2 sin 5x+ sin x = 1− 2 sin x 5x-+-x- 5x-−-x- 2sin 2 cos 2 = cos2x 2sin 3xco s2x = cos2x ( ) 1- 0 = cos 2x(1 − 2 sin 3x) = 2cos 2x 2 − sin 3x cos2x = 0 lub sin 3x = 1-. 2

Szkicujemy sinusa i cosinusa – trzeba trochę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨− π ,π ⟩ , ale 2x ∈ ⟨− 2π,2π ⟩ i 3x ∈ ⟨− 3π ,3π ⟩ .

ZINFO-FIGURE

Z wykresu odczytujemy rozwiązania

{ } { } 2x ∈ − 3π-,− π-, π-, 3π lub 3x ∈ − 2π + π-,− π − π-, π,π − π-,2π + π-,3π − π- 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 { } { } x ∈ − 3π-,− π-, π-, 3π lub x ∈ − 1-1π ,− 7π-, π-, 5π-, 13π-, 17-π 4 4 4 4 18 18 18 18 18 18 { 3π 11π 7 π π π π 5 π 13π 3π 17π } x ∈ − ---,− ----,− ---,− -, --,--,---, ----,---,---- 4 18 18 4 18 4 18 1 8 4 18

Odpowiedź: { } x ∈ − 3π,− 11π,− 7π-,− π, π-, π, 5π-, 13π, 3π-, 17π 4 18 18 4 18 4 18 18 4 18