Zadanie nr 3066139

Rozwiąż równanie π- x x x cos 5 + co s2 = 2 cos 3 co s6 .

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że

x-+ x-= 3x-= x. 3 6 6 2

Skorzystamy ze wzorów na cosinus sumy i różnicy

co s(α+ β) = cos αco sβ − sin βsin α co s(α− β) = cos αco sβ + sin βsin α.

Przekształcamy równanie.

x x π ( x x) 2cos --cos --= co s--+ cos --+ -- 3 6 5 3 6 2cos x-cos x-= co s π-+ cos x-cos x-− sin x-sin x- 3 6 5 3 6 3 6 cos xco s x-+ sin x-sin x-= co s π 3 6 3 6 5 ( x- x-) π- co s 3 − 6 = co s5 x π cos --= co s--. 6 5

Szkicujemy teraz wykres cosinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

x- π- x- π- 6 = 5 + 2kπ lub 6 = − 5 + 2k π /⋅ 6 6π 6π x = --- + 12kπ lub x = − ---+ 1 2kπ 5 5

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na sumę cosinusów

cosα + co sβ = 2 cos α-+-β-cos α−--β- 2 2

Aby móc zastosować ten wzór szukamy i tak, aby

{ α+β-= x α2−β- 3x 2 = 6

Dodajemy i odejmujemy równania stronami i mamy α = x2 , β = x6 . Równanie możemy więc zapisać w postaci

x x x x π- x- 2-+--6 -2 −-6 cos 5 + co s2 = 2co s 2 co s 2 π- x- x- x- cos 5 + co s2 = cos 2 + cos 6 π x cos --= cos -. 5 6

Rozwiązania odczytujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: 6π 6π x = 5-+ 12kπ lub x = − -5-+ 1 2kπ , k ∈ Z