/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 4641031

Rozwiąż równanie 2 2sin x− sin x = sin 2x − cos x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

sin 2α = 2 sinα cos α.

Przekształcamy dane równanie

2 sin 2x − sinx = sin 2x − co sx 2 sin 2x − sinx = 2sin xco sx − cos x sin x(2 sin x − 1) = co sx(2 sin x − 1).

Mamy teraz dwie możliwości. Albo

1 { π 5π } 2sinx = 1 ⇐ ⇒ sin x = -- ⇐ ⇒ x ∈ -, --- 2 6 6

lub 2sin x ⁄= 1 i otrzymujemy wtedy równanie

sin x = cos x.

Rozwiązania tego równania możemy odczytać z wykresów funkcji y = sinx i y = cosx .

PIC

Możemy też zauważyć, że równania nie spełnia żadna wartość x , dla której cosx = 0 (bo wtedy sinx = ± 1 ) i równanie przekształcić następująco:

co sx = sin x / : cosx { } 1 = sin-x-= tgx ⇐ ⇒ x ∈ π-, 5π . cosx 4 4

Dane równanie w danym przedziale ma więc cztery rozwiązania:

{ } x ∈ π-, π-, 5π-, 5π . 6 4 6 4

 
Odpowiedź: x ∈ { π-, π, 5π-, 5π} 6 4 6 4

Wersja PDF