/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 5491679

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 2cos 2x − 5sin 2x − 4 = 0 należące do przedziału ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy dane równanie zapisać w postaci

2 2(1 − sin 2x )− 5sin 2x− 4 = 0 − 2sin2 2x − 5sin 2x − 2 = 0 / ⋅(− 1) 2 sin 22x + 5 sin 2x + 2 = 0.

Podstawiamy teraz t = sin2x i mamy równanie

2t2 + 5t+ 2 = 0 Δ = 25 − 16 = 9 −-5-−-3 −-5-+-3 1- t = 4 = − 2 ∨ t = 4 = − 2.

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy bo sin2x ≥ − 1 i mamy sin 2x = − 12 .

PIC

Musimy teraz trochę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ , ale 2x ∈ ⟨0,4π ⟩ . W tym przedziale sinus przyjmuje wartość − 12 w czterech punktach:

{ } 2x ∈ π + π-,2π − π-,3π + π-,4π − π- { 6 6 } 6 6 7π- 11π- 19-π 23π- 2x ∈ 6 , 6 , 6 , 6 / : 2 { } x ∈ 7π-, 11π-, 19-π, 23π . 12 12 12 12

 
Odpowiedź: { } x ∈ 7π-, 11π-, 19π, 23π 12 12 12 12 .

Wersja PDF