Zadanie nr 6153509

Rozwiąż równanie 1 sinx sin3x = 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy równanie – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

1 --= sinx sin(x + 2x) = sin x(sin xcos 2x + sin2x cos x) = 2 ( ) = sinx sin x(1 − 2sin2 x)+ 2sin xco s2x = = sin2x (1− 2sin2x )+ 2 sin2x(1 − sin2 x) = 2 2 2 2 2 = sin x (1− 2sin x + 2 − 2 sin x) = sin x(3 − 4 sin x).

Podstawiamy teraz t = sin2x .

1- 2 2 = t(3− 4t) = 3t− 4t 1 4t2 − 3t +--= 0 2 Δ = 9− 8 = 1 3 − 1 1 3 + 1 1 t = ------= -, lub t = ------= -. 8 4 8 2

Mamy zatem

1 1 sin2x = -- lub sin 2x = -- 4 2 √ -- 1- ---2 sinx = ± 2 lub sin x = ± 2

Szkicujemy sinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie

π π k π x = ± --+ kπ lub x = --+ ---, k ∈ C. 6 4 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów

α+--β- α-−-β- cos α− cosβ = − 2sin 2 sin 2

Aby móc zastosować ten wzór szukamy i tak, aby

{ α+-β 2 = 3x α−2-β= x

Dodajemy i odejmujemy równania stronami i mamy α = 4x , β = 2x . Równanie możemy więc zapisać w postaci

− 1 = − 2 sin x sin 3x = cos4x − co s2x = 2cos2 2x − 1− cos2x ( ) 1- 0 = co s2x(2 cos2x − 1) = 2co s2x cos2x − 2 cos 2x = 0 lub cos2x = 1. 2

Szkicujemy cosinusa

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

π π 2x = --+ kπ lub 2x = ± --+ 2k π, k ∈ C 2 3 x = π-+ kπ- lub x = ± π-+ kπ, k ∈ C. 4 2 6

Odpowiedź: x = ± π6-+ kπ lub x = π4-+ kπ2-, k ∈ C