Zadanie nr 6254150

Rozwiąż równanie 2 2 sin 2x − 4sin x + 1 = 0 w przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru

sin 2x = 2 sinx cos x.

Przekształcamy równanie

sin 22x − 4 sin 2x + 1 = 0 2 2 2 4 sin x cos x − 4 sin x + 1 = 0 2 2 − 4 sin x(1 − cos x)+ 1 = 0 4 sin 2x sin 2x = 1 sin 4x = 1- 4 √ -- √ -- 1 2 1 2 sin x = − √---= − ---- lub sinx = √---= ---. 2 2 2 2

Szkicujemy sinusa

i odczytujemy z wykresu rozwiązanie.

{ } π 3 π 5π 7π x ∈ --,--- ,---,--- . 4 4 4 4

Sposób II

Tym razem korzystamy ze wzoru

cos2x = 1− 2sin2 x.

Przekształcamy dane równanie

sin 22x − 4 sin 2x + 1 = 0 2 1 − co s 2x − 2(1 − cos 2x) + 1 = 0 0 = cos22x − 2cos 2x 0 = cos2x (cos2x − 2).

Ponieważ cos2x ∈ ⟨− 1,1⟩ , mamy stąd co s2x = 0 .

Teraz trzeba odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0 ,2π⟩ , ale 2x ∈ ⟨0 ,4 π⟩ . Szkicujemy cosinusa.

Z obrazka odczytujemy, że

{ } 2x ∈ π-, 3π-, 5π-, 7-π / : 2 2 2 2 2 { π 3π 5π 7π } x ∈ --,---,---,--- . 4 4 4 4

Odpowiedź: { } x ∈ π4-, 34π, 5π4-, 74π