/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 7589013

Rozwiąż równanie 2 2 2 (cos2x + cosx) + (cos x+ 1) = cos x− 2cos 2x w przedziale ⟨0 ,2π⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie

2 2 2 (cos2x + co sx) + (cos x+ 1) = cos x− 2cos 2x cos2 2x+ 2co s2x cosx + co s2x + cos2 x+ 2cos x+ 1 = cos2 x− 2co s2x 2 2 cos 2x+ 2co s2x cosx + co s x + 2 cosx + 1 + 2 cos2x = 0.

Ponieważ cos2x = 2co s2x − 1 , to widać, że możemy w równaniu podstawić t = co sx .

(2t2 − 1)2 + 2(2t2 − 1)t+ t2 + 2t+ 1+ 2(2t2 − 1 ) = 0 4t4 − 4t2 + 1+ 4t3 − 2t + t2 + 2t+ 1 + 4t2 − 2 = 0 4 3 2 4t + 4t + t = 0 t2(4t2 + 4t+ 1) = 0 t2(2t+ 1)2 = 0 1 t = 0 ∨ t = − --. 2

Zatem

1 cos x = 0 ∨ co sx = − -- { } { 2 } x ∈ π-, 3π ∨ x ∈ π − π-,π + π- 2 2 3 3 { π 2π 4π 3π } x ∈ --,---,---,--- . 2 3 3 2

 
Odpowiedź: { } x ∈ π2-, 2π3 , 4π3-, 3π2

Wersja PDF