Zadanie nr 8265374

Rozwiąż równanie

cos 5x-sin 5x-+ co s2 x-= 1 4 4 4 2

w zbiorze [− π ,π] .

Rozwiązanie

Na początku skorzystamy ze wzorów

sin2α = 2sin αco sα cos2α = 2co s2α − 1

na funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu. Przekształcamy dane równanie

cos 5x-sin 5x-+ cos2 x = 1- / ⋅2 4 4 4 2 5x- 5x- 2 x 2sin 4 cos 4 + 2 cos 2 − 1 = 0 5x x sin ---+ cos-- = 0 2 2

Teraz będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

sinα + sin β = 2 sin α-+-β-co s α-−-β 2 2

na sumę sinusów.

( ) 0 = sin 5x-+ co s x-= sin 5x-+ sin π-− x- 2 2 2 ( 2) 2 5x+ π-− x 5x − π-− x 0 = 2 sin 2----2---2-cos -2-----2---2-- / : 2 ( 2) ( )2 0 = sin x + π- cos 3x-− π- 4 2 4 ( ) ( ) sin x + π- = 0 lub cos 3x-− π- = 0 4 2 4 π 3x π π x + --= kπ lub --- − -- = -- + kπ 4 2 4 2 x = − π-+ kπ lub 3x- = 3-π + kπ / ⋅ 2- 4 2 4 3 π- π- 2kπ- x = − 4 + kπ lub x = 2 + 3 .

W danym przedziale daje to nam następujące rozwiązania

{ } x ∈ − π-,− π-+ π , π − 4π-, π − 2π-, π- 4 4 2 3 2 3 2 { π 3π 5π π π } x ∈ − --,---,− ---,− --,-- . 4 4 6 6 2

Odpowiedź: { } x ∈ − π4, 3π4-,− 5π6 ,− π6, π2