/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 8411516

Rozwiąż równanie 1 sinx sin3x = 2 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy równanie – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

1 --= sinx sin(x + 2x) = sin x(sin xcos 2x + sin2x cos x) = 2 ( ) = sinx sin x(1 − 2sin2 x)+ 2sin xco s2x = = sin2x (1− 2sin2x )+ 2 sin2x(1 − sin2 x) = 2 2 2 2 2 = sin x (1− 2sin x + 2 − 2 sin x) = sin x(3 − 4 sin x).

Podstawiamy teraz t = sin2x .

1- 2 2 = t(3− 4t) = 3t− 4t 1 4t2 − 3t +--= 0 2 Δ = 9− 8 = 1 3 − 1 1 3 + 1 1 t = ------= -, lub t = ------= -. 8 4 8 2

Mamy zatem

1 1 sin2x = -- lub sin 2x = -- 4 2 √ -- 1- ---2 sinx = ± 2 lub sin x = ± 2

Szkicujemy sinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie

{ π π π π π π π π} x ∈ --,--,π − -,π − --,π + --,π + --,2π − --,2π − -- { 6 4 4 6 6 }4 4 6 = π-, π-, 3π-, 5π-, 7π-, 5π-, 7-π, 11π . 6 4 4 6 6 4 4 6

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów

α+--β- α-−-β- cos α− cosβ = − 2sin 2 sin 2

Aby móc zastosować ten wzór szukamy α i β tak, aby

{ α+-β= 3x α2−-β 2 = x

Dodajemy i odejmujemy równania stronami i mamy α = 4x , β = 2x . Równanie możemy więc zapisać w postaci

− 1 = − 2 sin x sin 3x = cos4x − co s2x = 2cos2 2x − 1− cos2x ( ) 0 = co s2x(2 cos2x − 1) = 2co s2x cos2x − 1- 2 1 cos 2x = 0 lub cos2x = -. 2

Teraz musimy odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ , ale 2x ∈ ⟨0,4π ⟩ . Szkicujemy cosinusa

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania.

{ π 3π 5π 7π π π π π } 2x ∈ --,---,---,---,--,2π − --,2π + --,4π − -- = { 2 2 2 2 3 3 } 3 3 π- 3π- 5π- 7-π π- 5π- 7π- 11π- = 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 / : 2 { } x ∈ π-, π-, 3π-, 5π-, 7π-, 5-π, 7π-, 11π . 6 4 4 6 6 4 4 6

 
Odpowiedź: { } x ∈ π-, π, 3π-, 5π, 7π-, 5π, 7π-, 11π 6 4 4 6 6 4 4 6

Wersja PDF