/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 2

Zadanie nr 8789585

Rozwiąż równanie 2 sin5x + sin x + 2 sin x = 1 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzorów

α + β α − β sinα + sin β = 2 sin ------co s------ 2 2 cos 2α = 1 − 2 sin 2α

Przekształcamy dane równanie

sin 5x + sinx = 1− 2sin2x 5x + x 5x − x 2 sin -------cos -------= cos 2x 2 2 2 sin 3x cos2x − co s2x = 0 ( 1 ) 2 cos2x sin 3x − -- = 0 2 1- co s2x = 0 lub sin3x = 2 .

Szkicujemy sinusa i cosinusa.

PIC

Z wykresów odczytujemy rozwiązania.

{ } { } 2x ∈ π-, 3π-, 5-π, 7π lub 3x ∈ π-, 5π-, π + 2π , 5π-+ 2π , π-+ 4π, 5-π + 4π 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 { π 3π 5 π 7π } { π 5π 13π 17π 25π 29π } 2x ∈ --,---,---, --- lub x ∈ --, ---,----,----, ----,---- . 4 4 4 4 18 18 18 18 18 18

 
Odpowiedź: { } x ∈ π, 3π, 5π-, 7π, π-, 5π-, 13π, 17π, 25π-, 29π 4 4 4 4 18 18 18 18 18 18

Wersja PDF