/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Wykładnicze

Wartość bezwzględna

Definicja Wartością bezwzględną liczby a nazywamy liczbę

{ a jeżeli a ≥ 0 |a| = −a jeżeli a < 0 .

Dla osób, które tę definicję widzą pierwszy raz wyjaśnijmy, że branie wartości bezwzględnej ma polegać na odrzuceniu znajdującego się przed liczbą znaku minus. Jeżeli tego znaku minus nie ma, to branie wartości bezwzględnej nic nie zmienia.

Dokładnie taki jest sens powyższego wzoru: jeżeli liczba a jest nieujemna (czyli nie ma z przodu minusa), to |a| = a ; jeżeli natomiast liczba a jest ujemna, to |a| = −a (ta operacja usuwa minus, bo dwa minusy dają plus).

Licznie wartości bezwzględnej sprowadza się do ustalenia, czy liczba, z której liczymy wartość bezwzględną jest ujemna, czy też nie, np.

|2| = 2 |− 2| = 2 |0| = 0 √ -- √ -- |1 − 2| = 2 − 1 |lo g 3 | = − lo g 3 12 12 |sin 350∘| = − sin 350∘ |− x2| = x2.

Oś liczbowa O wartości bezwzględnej liczby a warto jest myśleć w sposób geometryczny:

Liczba |a| jest równa odległości liczby a od punktu x = 0 na osi liczbowej.

ZINFO-FIGURE

Odległość liczby − 4 od początku osi równa się |− 4| = 4 . Dokładnie taka sama jest odległość od początku osi liczby 4.

W pierwszej chwili powyższa uwaga może wydawać się dość banalna, ale ma ona niezwykle użyteczne konsekwencje:

|x | = a ⇐ ⇒ (x = a lub x = −a ) |x | < a ⇐ ⇒ −a < x < a |x| ≤ a ⇐ ⇒ −a ≤ x ≤ a |x | > a ⇐ ⇒ (x > a lub x < −a ) |x| ≥ a ⇐ ⇒ (x ≥ a lub x ≤ −a ),

o ile a > 0 .

Powyższe równoważności są użyteczne, gdyż pozwalają (w prostych sytuacjach) pozbyć się wartości bezwzględnej. Zanim jednak przejdziemy do przykładów, wyjaśnijmy skąd one się wzięły.

Równość |x | = a spełniają liczby x , które są odległe od 0 o a . Na osi liczbowej są dwie liczby o tej własności: x = a i x = −a (rysunek powyżej).

Nierówność |x | < a spełniają liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż a . Jest to dokładnie przedział (−a ,a) , czyli zbiór opisany nierównością − a < x < a .

ZINFO-FIGURE

Podobnie myślimy o słabej nierówności |x | ≤ a .

Nierówność |x | > a spełniają liczby, których odległość od 0 jest większa od a . Są to dokładnie te liczby, które znajdują się na prawo od a (czyli x > a ) lub na lewo od − a (czyli x < −a ). Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku słabej nierówności.

Rozwiążmy równanie |2x − 3| = 5 .
Mamy

|2x − 3| = 5 ⇐ ⇒ (2x− 3 = 5 ∨ 2x − 3 = − 5)

Z pierwszej równości otrzymujemy x = 4 , a z drugiej x = − 1 .

Rozwiążmy równanie |2 − |3− x|| = 1 .
Mamy

|2 − |3− x|| = 1 ⇐ ⇒ (2 − |3− x| = 1 ∨ 2 − |3− x| = − 1).

Z pierwszego równania mamy

|3 − x| = 1 ⇐ ⇒ (3− x = 1 ∨ 3− x = − 1),

czyli x = 2 lub x = 4 . Druga równość daje

|3 − x| = 3 ⇐ ⇒ (3− x = 3 ∨ 3− x = − 3),

czyli x = 0 lub x = 6 .

Rozwiążmy nierówność |3x − 5| < 2 .
Mamy

− 2 < 3x − 5 < 2 / + 5 3 < 3x < 7 / : 3 1 < x < 7. 3

Rozwiązaniem jest więc przedział 7 (1, 3) .

Rozwiążmy nierówność |2− 2x | ≥ 5 .
Liczymy

2− 2x ≥ 5 ∨ 2− 2x ≤ − 5 − 3 ≥ 2x ∨ 7 ≤ 2x − 3-≥ x ∨ 7-≤ x . 2 2

Rozwiązaniem jest więc zbiór (− ∞ ,− 32⟩ ∪ ⟨72,+ ∞ ) .

Odległość na osi Widzieliśmy przed chwilą, że myślenie o liczbie |x| w sposób geometryczny (jako odległości na osi) pozwala w prosty sposób rozwiązać nawet dość skomplikowane zadania.

Idąc za ciosem, spróbujmy jeszcze odrobinę wytężyć naszą wyobraźnię i ustalmy, jaka jest interpretacja geometryczna liczby |a − b| ? Odpowiedź jest niezwykle elegancka

Liczba |a − b| jest równa odległości na osi liczb a i b .

Za uzasadnienie powyższego stwierdzenia niech służy poniższy rysunek.

ZINFO-FIGURE

Równanie |x − 3 | = 5 jest spełnione przez liczby x , które są odległe od liczby 3 o 5 jednostek. Gdy naszkicujemy oś liczbową, robi się jasne, że są dwie takie liczby x = 3 − 5 = − 2 oraz x = 3 + 5 = 8 .

ZINFO-FIGURE

Rozwiązaniem nierówności |x − 2 | < 4 jest zbiór liczb, których odległość od 2 jest mniejsza niż 4.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli wykonamy obrazek, to widać, że jest to przedział (2 − 4,2 + 4) = (− 2,6)

Rozwiązaniem nierówności |x + 4| ≥ 5 jest zbiór liczb, których odległość od -4 jest równa co najmniej 5.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli wykonamy obrazek, to widać, że jest to zbiór

(− ∞ ,− 4− 5⟩∪ ⟨− 4 + 5,+ ∞ ) = (− ∞ ,− 9⟩∪ ⟨1,+ ∞ ).

Rozwiążmy równanie |x + 2|+ |x − 3| = 5 .
Myśląc geometrycznie, powyższe równanie oznacza: szukamy liczb x , których suma odległości od -2 i od 3 jest równa 5. Rysujemy oś liczbową i widzimy, że są dwie możliwości.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli x ∈ ⟨− 2,3⟩ to suma odległości x od -2 i 3 jest równa dokładnie długości przedziału ⟨− 2,3⟩ , czyli jest równa 5.
Jeżeli natomiast x ⁄∈ ⟨− 2,3⟩ , to odległość x od jednego z końców tego przedziału jest większa niż 5, więc suma odległości będzie jeszcze większa.
Rozwiązaniem równania jest więc zbiór ⟨− 2,3 ⟩ .

Definicja i przypadki W przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń z wartością bezwzględną, jedynym sposobem na pozbycie się jej, jest skorzystanie z definicji

{ |a| = a jeżeli a ≥ 0 −a jeżeli a < 0 .

Schemat jest następujący: dla każdego wyrażenia postaci |w | rozważamy dwa przypadki, gdy w ≥ 0 (wtedy zastępujemy |w | przez w ), oraz gdy w < 0 (wtedy zastępujemy |w| przez − w ).

Rozwiążmy równanie |x − 2| = 2x + 3 .
Rozważamy dwa przypadki.
Jeżeli x ≥ 2 to mamy równanie

x − 2 = 2x + 3 ⇐ ⇒ − 5 = x .

Rozwiązanie to nie spełnia założenia x ≥ 2 , więc je odrzucamy.
Jeżeli natomiast x < 2 to równanie przybiera postać

−(x − 2 ) = 2x + 3 ⇐ ⇒ − 1 = 3x ⇐ ⇒ x = − 1-. 3

Rozwiązanie to spełnia warunek x < 2 , więc jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

Rozwiążmy nierówność |x − 2|+ |3 − x | < 3 .
Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną jest nieujemne dla x ≥ 2 , a wyrażenie pod drugą dla x ≤ 3 . Daje to nam 3 przypadki.
Jeżeli x > 3 to mamy nierówność

x − 2 − (3 − x) < 3 ⇐ ⇒ 2x < 8 ⇐ ⇒ x < 4.

W połączeniu z warunkiem x > 3 mamy w tym przypadku rozwiązanie: (3,4) .
Jeżeli 3 ≥ x ≥ 2 to mamy nierówność

x − 2 + 3 − x < 3 ⇐ ⇒ 1 < 3.

W tym przypadku nierówność jest więc spełniona tożsamościowo.
Jeżeli x < 2 to mamy

− (x − 2) + 3 − x < 3 ⇐ ⇒ 2 < 2x ⇐ ⇒ 1 < x.

Zatem w tym przypadku mamy rozwiązanie: (1,2) .
Zbierając razem rozwiązania ze wszystkich przypadków, rozwiązaniem jest zbiór (1,4) .

Funkcja y = |x| W wielu przykładach wygodnie jest myśleć o wartości bezwzględnej jako o funkcji y = |x | . Korzystające ze wzoru

{ y = |x| = x jeżeli x ≥ 0 −x jeżeli x < 0.

bez trudu rysujemy wykres tej funkcji

ZINFO-FIGURE

W podobny sposób rysujemy wykresy funkcji, w których wartość bezwzględna występuje w bardziej skomplikowanych wyrażeniach.

Sprawdźmy dla jakiej wartości parametru m równanie

|x|+ 3 = m

ma dwa rozwiązania.
Łatwo narysować wykres lewej strony: jest to wykres y = |x| przesunięty o 3 jednostki do góry.

ZINFO-FIGURE

Z wykresu widać, że równanie ma dwa rozwiązania dla m > 3 .

Raz jeszcze rozwiążmy nierówność |x − 2|+ |3 − x| < 3 . Tym razem posłużymy się jednak wykresem lewej strony. Rysujemy wykres funkcji

( |{ x− 2− (3− x ) = 2x − 5 dla x > 3 y = |x − 2|+ |3 − x | = x− 2+ 3− x = 1 dla 3 ≥ x ≥ 2 |( −(x − 2 )+ 3 − x = − 2x + 5 dla x < 2.

ZINFO-FIGURE

Z wykresu nie jest trudno odczytać, że rozwiązaniem nierówności jest przedział (1,4) .

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Zaloguj się Informacje o abonamencie
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.