Zadanie nr 1618068
Dane jest równanie z niewiadomą
. Wyznacz wartości
i
tak, by były one rozwiązaniami danego równania.
Rozwiązanie
Po pierwsze sprawdzamy, kiedy dane równanie ma rozwiązania
![2 0 ≤ Δ = b − 4c.](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR0x.gif)
Teraz rozpatrzmy osobno przypadek . Mamy wtedy równanie
![2 x + bx + b = 0](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR2x.gif)
i liczba ma być jego pierwiastkiem. Mamy stąd
![2 2 b + b + b = 0 b(2b + 1) = 0.](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR4x.gif)
Zatem lub
. Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach mamy
.
Załóżmy teraz, że .
Sposób I
Na mocy wzorów Viéte’a mamy
![{ b + c = −b bc = c { c = − 2b c(b − 1 ) = 0](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR9x.gif)
Jeżeli to otrzymujemy
, co jest sprzeczne z założeniem
. Zatem
i wtedy
. Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek
.
Sposób II
Jeżeli liczby i
są dwoma różnymi pierwiastkami danego trójmianu
to musi on mieć postać
![f(x) = (x − b )(x− c).](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR19x.gif)
Mamy stąd równanie
![(x− b)(x − c) = x2 + bx + c 2 2 x{ − (b+ c)x+ bc = x + bx + c b + c = −b bc = c.](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR20x.gif)
Otrzymany układ równań rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Sposób III
Z informacji o tym, że liczby i
są rozwiązaniami danego równania otrzymujemy układ równań
![{ b2 + b2 + c = 0 2 c + bc+ c = 0.](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR23x.gif)
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy
![2 2 2 b − c + b − bc = 0 (b− c)(b + c) + b(b − c) = 0 (b− c)(2b + c) = 0.](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR24x.gif)
Założyliśmy, że , więc mamy stąd
. Wtedy z pierwszego równania układu mamy
![2b2 = −c = 2b / : 2 b(b − 1) = 0.](https://img.zadania.info/zad/1618068/HzadR27x.gif)
Jeżeli to
i mamy sprzeczność z założeniem
. Zatem
i
. Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek
.
Odpowiedź: lub
lub