Po pierwsze sprawdzamy, kiedy dane równanie ma rozwiązania
Teraz rozpatrzmy osobno przypadek . Mamy wtedy równanie
i liczba ma być jego pierwiastkiem. Mamy stąd
Zatem lub
. Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach mamy
.
Załóżmy teraz, że .
Sposób I
Na mocy wzorów Viéte’a mamy
Jeżeli to otrzymujemy
, co jest sprzeczne z założeniem
. Zatem
i wtedy
. Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek
.
Sposób II
Jeżeli liczby i
są dwoma różnymi pierwiastkami danego trójmianu
to musi on mieć postać
Mamy stąd równanie
Otrzymany układ równań rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Sposób III
Z informacji o tym, że liczby i
są rozwiązaniami danego równania otrzymujemy układ równań
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy
Założyliśmy, że , więc mamy stąd
. Wtedy z pierwszego równania układu mamy
Jeżeli to
i mamy sprzeczność z założeniem
. Zatem
i
. Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek
.
Odpowiedź: lub
lub