/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 1618068

Dane jest równanie 2 x + bx + c = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wartości b i c tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze sprawdzamy, kiedy dane równanie ma rozwiązania

2 0 ≤ Δ = b − 4c.

Teraz rozpatrzmy osobno przypadek b = c . Mamy wtedy równanie

2 x + bx + b = 0

i liczba b ma być jego pierwiastkiem. Mamy stąd

2 2 b + b + b = 0 b(2b + 1) = 0.

Zatem b = c = 0 lub b = c = − 1 2 . Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach mamy Δ ≥ 0 .

Załóżmy teraz, że b ⁄= c .

Sposób I

Na mocy wzorów Viéte’a mamy

{ b + c = −b bc = c { c = − 2b c(b − 1 ) = 0

Jeżeli c = 0 to otrzymujemy b = 0 , co jest sprzeczne z założeniem b ⁄= c . Zatem b = 1 i wtedy c = − 2 . Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek Δ > 0 .

Sposób II

Jeżeli liczby b i c są dwoma różnymi pierwiastkami danego trójmianu f (x) = x2 + bx + c to musi on mieć postać

f(x) = (x − b )(x− c).

Mamy stąd równanie

(x− b)(x − c) = x2 + bx + c 2 2 x{ − (b+ c)x+ bc = x + bx + c b + c = −b bc = c.

Otrzymany układ równań rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Z informacji o tym, że liczby b i c są rozwiązaniami danego równania otrzymujemy układ równań

{ b2 + b2 + c = 0 2 c + bc+ c = 0.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy

2 2 2 b − c + b − bc = 0 (b− c)(b + c) + b(b − c) = 0 (b− c)(2b + c) = 0.

Założyliśmy, że b ⁄= c , więc mamy stąd c = − 2b . Wtedy z pierwszego równania układu mamy

2b2 = −c = 2b / : 2 b(b − 1) = 0.

Jeżeli b = 0 to c = 0 i mamy sprzeczność z założeniem b ⁄= c . Zatem b = 1 i c = − 2b = − 2 . Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek Δ > 0 .

 
Odpowiedź: (b,c) = (0,0) lub (b,c) = (− 1,− 1 ) 2 2 lub (b,c) = (1,− 2)

Wersja PDF