Dane jest równanie x^2+bx+c=0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Równania z pierwiastkami, 1618068

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Z parametrem

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 1618068

Dane jest równanie $2 x + bx + c = 0$ z niewiadomą $x$ . Wyznacz wartości $b$ i $c$ tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Rozwiązanie

Po pierwsze sprawdzamy, kiedy dane równanie ma rozwiązania

2 0 ≤ Δ = b − 4c.

Teraz rozpatrzmy osobno przypadek $b = c$ . Mamy wtedy równanie

2 x + bx + b = 0

i liczba $b$ ma być jego pierwiastkiem. Mamy stąd

2 2 b + b + b = 0 b(2b + 1) = 0.

Zatem $b = c = 0$ lub $b = c = − 1 2$ . Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach mamy $Δ ≥ 0$ .

Załóżmy teraz, że $b ⁄= c$ .

Sposób I

Na mocy wzorów Viéte’a mamy

{ b + c = −b bc = c { c = − 2b c(b − 1 ) = 0

Jeżeli $c = 0$ to otrzymujemy $b = 0$ , co jest sprzeczne z założeniem $b ⁄= c$ . Zatem $b = 1$ i wtedy $c = − 2$ . Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek $Δ > 0$ .

Sposób II

Jeżeli liczby $b$ i $c$ są dwoma różnymi pierwiastkami danego trójmianu $f (x) = x2 + bx + c$ to musi on mieć postać

f(x) = (x − b )(x− c).

Mamy stąd równanie

(x− b)(x − c) = x2 + bx + c 2 2 x{ − (b+ c)x+ bc = x + bx + c b + c = −b bc = c.

Otrzymany układ równań rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Z informacji o tym, że liczby $b$ i $c$ są rozwiązaniami danego równania otrzymujemy układ równań

{ b2 + b2 + c = 0 2 c + bc+ c = 0.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy

2 2 2 b − c + b − bc = 0 (b− c)(b + c) + b(b − c) = 0 (b− c)(2b + c) = 0.

Założyliśmy, że $b ⁄= c$ , więc mamy stąd $c = − 2b$ . Wtedy z pierwszego równania układu mamy

2b2 = −c = 2b / : 2 b(b − 1) = 0.

Jeżeli $b = 0$ to $c = 0$ i mamy sprzeczność z założeniem $b ⁄= c$ . Zatem $b = 1$ i $c = − 2b = − 2$ . Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek $Δ > 0$ .