Zadanie nr 1618068
Dane jest równanie z niewiadomą
. Wyznacz wartości
i
tak, by były one rozwiązaniami danego równania.
Rozwiązanie
Po pierwsze sprawdzamy, kiedy dane równanie ma rozwiązania

Teraz rozpatrzmy osobno przypadek . Mamy wtedy równanie

i liczba ma być jego pierwiastkiem. Mamy stąd

Zatem lub
. Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach mamy
.
Załóżmy teraz, że .
Sposób I
Na mocy wzorów Viéte’a mamy

Jeżeli to otrzymujemy
, co jest sprzeczne z założeniem
. Zatem
i wtedy
. Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek
.
Sposób II
Jeżeli liczby i
są dwoma różnymi pierwiastkami danego trójmianu
to musi on mieć postać

Mamy stąd równanie

Otrzymany układ równań rozwiązujemy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Sposób III
Z informacji o tym, że liczby i
są rozwiązaniami danego równania otrzymujemy układ równań

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy

Założyliśmy, że , więc mamy stąd
. Wtedy z pierwszego równania układu mamy

Jeżeli to
i mamy sprzeczność z założeniem
. Zatem
i
. Łatwo sprawdzić, że para ta spełnia warunek
.
Odpowiedź: lub
lub