Zadanie nr 2018969
Dla jakich wartości parametru równanie
ma dwa pierwiastki rzeczywiste? Wyznacz te wartości parametru
, dla których suma sześcianów pierwiastków tego równania jest równa -9.
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma pierwiastki
![4m − 8 4m − 8 + 9m − 27 0 < Δ = 9+ ------- = ------------------= m − 3 m − 3 13m--−-35- 13(m--−-3153)- = m − 3 = m − 3 ( ) m ∈ − ∞ , 3-5 ∪ (3,+ ∞ ). 1 3](https://img.zadania.info/zad/2018969/HzadR0x.gif)
Skorzystamy teraz ze wzorów Viète’a
![x1 + x2 = − 3 m − 2 x1x2 = − ------. m − 3](https://img.zadania.info/zad/2018969/HzadR1x.gif)
Liczymy
![− 9 = x3+ x3 = (x + x )3 − 3x2x − 3x x2= 1 2 1 2 1 2 1 2 = − 27 − 3x x (x + x ) = − 27− 9⋅ m-−-2-. 1 2 1 2 m − 3 m − 2 9⋅ ------= − 18 / : 9 m − 3 m-−-2-= − 2 m − 3 m − 2 = − 2m + 6 3m = 8 ⇒ m = 8-. 3](https://img.zadania.info/zad/2018969/HzadR2x.gif)
Odpowiedź: . Pierwiastki dla
.