Zadanie nr 2203831

Dane jest równanie 2 2 8x − 4nx − 4x − 5n − 3 = 0 z niewiadomą i parametrem .

Wyznacz wszystkie wartości , dla których suma odwrotności pierwiastków tego równania jest równa .
Wykaż, że jeżeli jest liczbą całkowitą, to suma kwadratów pierwiastków tego równania też jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie w postaci

2 2 8x − 4(n + 1)x − 5n − 3 = 0.

Na początku sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki

2 2 Δ = 16(n + 1) + 32(5n + 3 ).

Widać, że wyrażenie to jest dodatnie, więc równanie ma zawsze dwa pierwiastki x1,x 2 . Ponadto, na mocy wzorów Viète’a mamy

{ x1 + x2 = −b-= 4(n+-1)= n+1- c a−-5n2−38 2 x1x 2 = a = 8 .

Musimy rozwiązać równanie
$1 1 x1 + x2 12 --+ ---= --------= − --- x1 x2 x 1x 2 23 n+21 12 −5n2−3-= − --- 8 23 4n + 4 1 2 23(− 5n2 − 3) ----2-----= − --- / ⋅ -------------- − 5n − 3 2 3 4 2 3n+ 23 = 15n 2 + 9 2 0 = 15n − 23n − 1 4 Δ = 529 + 8 40 = 1369 = 372 n = 23-−-37-= − 14-= − 7-- ∨ n = 23-+-37-= 2. 30 30 15 30$

Odpowiedź:
Liczymy sumę kwadratów pierwiastków
$( ) 2 2 2 n-+--1 2 5n2 +-3- x 1 + x 2 = (x1 + x2) − 2x1x2 = 2 + 4 = n2-+-2n-+-1-+-5n-2 +-3 6n-2 +-2n-+-4 3n-2 +-n+--2 n(3n-+-1)- = 4 = 4 = 2 = 2 + 1.$

Musimy więc uzasadnić, że ułamek jest zawsze liczbą całkowitą. Nie jest to trudne: jeżeli jest liczbą parzystą, to jest liczbą całkowitą i iloczyn

$n n (3n + 1) --⋅(3n + 1) = ---------- 2 2$

jest całkowity. Jeżeli natomiast jest liczbą nieparzystą, to parzysta jest liczba , czyli całkowita jest liczba

$3n + 1 n(3n + 1 ) -------⋅n = ----------. 2 2$

Powyższe uzasadnienie mogliśmy też zapisać następująco: jeżeli jest parzyste, to dla pewnej liczby całkowitej . Wtedy

$n(3n-+-1)- 2k(6k-+-1)- 2 = 2 = k(6k+ 1)$

jest liczbą całkowitą. A jeżeli jest liczbą nieparzystą, tzn. to

$n(3n-+-1)-= (2k-+-1)(6k-+-4)-= (2k+ 1)(3k + 2), 2 2$

i ponownie jest to liczba całkowita.