Dane jest równanie 8x^2-4nx-4x-5n^2-3=0 z niewiadomą x i parametrem... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Równania z pierwiastkami, 2203831

Forum

Z parametrem

Zadanie nr 2203831

Dane jest równanie $2 2 8x − 4nx − 4x − 5n − 3 = 0$ z niewiadomą $x$ i parametrem $n$ .

Wyznacz wszystkie wartości $n$ , dla których suma odwrotności pierwiastków tego równania jest równa $− 12 23$ .
Wykaż, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, to suma kwadratów pierwiastków tego równania też jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie w postaci

2 2 8x − 4(n + 1)x − 5n − 3 = 0.

Na początku sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki

2 2 Δ = 16(n + 1) + 32(5n + 3 ).

Widać, że wyrażenie to jest dodatnie, więc równanie ma zawsze dwa pierwiastki $x1,x 2$ . Ponadto, na mocy wzorów Viète’a mamy

{ x1 + x2 = −b-= 4(n+-1)= n+1- c a−-5n2−38 2 x1x 2 = a = 8 .

Musimy rozwiązać równanie $1 1 x1 + x2 12 --+ ---= --------= − --- x1 x2 x 1x 2 23 n+21 12 −5n2−3-= − --- 8 23 4n + 4 1 2 23(− 5n2 − 3) ----2-----= − --- / ⋅ -------------- − 5n − 3 2 3 4 2 3n+ 23 = 15n 2 + 9 2 0 = 15n − 23n − 1 4 Δ = 529 + 8 40 = 1369 = 372 n = 23-−-37-= − 14-= − 7-- ∨ n = 23-+-37-= 2. 30 30 15 30$

Odpowiedź: $n = − -7 lub n = 2 15$
Liczymy sumę kwadratów pierwiastków $( ) 2 2 2 n-+--1 2 5n2 +-3- x 1 + x 2 = (x1 + x2) − 2x1x2 = 2 + 4 = n2-+-2n-+-1-+-5n-2 +-3 6n-2 +-2n-+-4 3n-2 +-n+--2 n(3n-+-1)- = 4 = 4 = 2 = 2 + 1.$
Musimy więc uzasadnić, że ułamek $n(3n+ 1) --2----$ jest zawsze liczbą całkowitą. Nie jest to trudne: jeżeli $n$ jest liczbą parzystą, to $n 2$ jest liczbą całkowitą i iloczyn
$n n (3n + 1) --⋅(3n + 1) = ---------- 2 2$
jest całkowity. Jeżeli natomiast $n$ jest liczbą nieparzystą, to parzysta jest liczba $3n + 1$ , czyli całkowita jest liczba
$3n + 1 n(3n + 1 ) -------⋅n = ----------. 2 2$
Powyższe uzasadnienie mogliśmy też zapisać następująco: jeżeli $n$ jest parzyste, to $n = 2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ . Wtedy
$n(3n-+-1)- 2k(6k-+-1)- 2 = 2 = k(6k+ 1)$
jest liczbą całkowitą. A jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, tzn. $n = 2k + 1$ to
$n(3n-+-1)-= (2k-+-1)(6k-+-4)-= (2k+ 1)(3k + 2), 2 2$
i ponownie jest to liczba całkowita.

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!