Zadanie nr 2203831
Dane jest równanie z niewiadomą
i parametrem
.
- Wyznacz wszystkie wartości
, dla których suma odwrotności pierwiastków tego równania jest równa
.
- Wykaż, że jeżeli
jest liczbą całkowitą, to suma kwadratów pierwiastków tego równania też jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie
Zapiszmy równanie w postaci
![2 2 8x − 4(n + 1)x − 5n − 3 = 0.](https://img.zadania.info/zad/2203831/HzadR0x.gif)
Na początku sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki
![2 2 Δ = 16(n + 1) + 32(5n + 3 ).](https://img.zadania.info/zad/2203831/HzadR1x.gif)
Widać, że wyrażenie to jest dodatnie, więc równanie ma zawsze dwa pierwiastki . Ponadto, na mocy wzorów Viète’a mamy
![{ x1 + x2 = −b-= 4(n+-1)= n+1- c a−-5n2−38 2 x1x 2 = a = 8 .](https://img.zadania.info/zad/2203831/HzadR3x.gif)
- Musimy rozwiązać równanie
Odpowiedź: - Liczymy sumę kwadratów pierwiastków
Musimy więc uzasadnić, że ułamek
jest zawsze liczbą całkowitą. Nie jest to trudne: jeżeli
jest liczbą parzystą, to
jest liczbą całkowitą i iloczyn
jest całkowity. Jeżeli natomiast
jest liczbą nieparzystą, to parzysta jest liczba
, czyli całkowita jest liczba
Powyższe uzasadnienie mogliśmy też zapisać następująco: jeżeli
jest parzyste, to
dla pewnej liczby całkowitej
. Wtedy
jest liczbą całkowitą. A jeżeli
jest liczbą nieparzystą, tzn.
to
i ponownie jest to liczba całkowita.