Zadanie nr 2296395
Dla jakich wartości parametru suma pierwiastków równania
jest równa sumie kwadratów tych pierwiastków?
Rozwiązanie
Zapiszmy równanie w postaci ogólnej.
![2 x − 2mx + 2m − 1](https://img.zadania.info/zad/2296395/HzadR0x.gif)
Sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki.
![2 2 2 Δ = 4m − 4(2m − 1 ) = 4(m − 2m + 1) = 4(m − 1) .](https://img.zadania.info/zad/2296395/HzadR1x.gif)
Zatem , czyli równanie zawsze ma pierwiastki. Na mocy wzorów Vi‘ete’a mamy
![{ x1 + x2 = −ab-= 2m x x = c = 2m − 1. 1 2 a](https://img.zadania.info/zad/2296395/HzadR3x.gif)
Musimy zatem rozwiązać równanie:
![2 2 x1 + x2 = x 1 + x 2 x1 + x2 = (x 1 + x 2)2 − 2x 1x2 2 2m = 4m − 2(2m − 1) 4m 2 − 2m − 4m + 2 = 0 4m 2 − 6m + 2 = 0 2 2m − 3m + 1 = 0 Δ = 9− 8 = 1 3 − 1 1 3+ 1 m = ------= -- ∨ m = ------= 1. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/2296395/HzadR4x.gif)
Zauważmy, że powyższy rachunek ma sens również w przypadku, gdy równanie ma pierwiastek podwójny, czyli dla . W tej sytuacji mamy jeden pierwiastek
, który jest równy swojemu kwadratowi.
Odpowiedź: lub