/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 2421522

Wyznacz wszystkie liczby m ∈ R , dla których równanie 2 x + mx + (2m + 1) = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 takie, że x31 + x32 = 26 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

2 2 0 < Δ = m − 4(2m + 1) = m − 8m − 4 Δ = 64 + 16 = 80 √ -- √ -- √ -- √ -- m = 8-−-4---5 = 4 − 2 5, m2 = 8+--4--5-= 4 + 2 5 1 2 √ -- √ -- 2 m ∈ (− ∞ ,4− 2 5)∪ (4+ 2 5,+ ∞ ).

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = −m x1x2 = 2m + 1

Musimy więc rozwiązać równanie.

2 6 = x31 + x32 3 2 2 2 6 = (x1 + x2) − 3x1x2 − 3x 1x 2 2 6 = (x + x )3 − 3x x (x + x ) 1 2 1 2 1 2 2 6 = −m 3 + 3m (2m + 1) 3 2 m − 6m − 3m + 26 = 0.

Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest m = − 2 . Dzielimy wielomian przez (m + 2 ) – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 m − 6m − 3m + 2 6 = m + 2m − 8m − 16m + 13m + 26 = = m2(m + 2)− 8m (m + 2 )+ 13 (m + 2) = = (m 2 − 8m + 13)(m + 2).

Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie

m 2 − 8m + 1 3 = 0 Δ = 64 − 52 = 1 2 √ -- √ -- √ -- √ -- m = 8-−-2--3-= 4 − 3 ∨ m = 8-+-2---3 = 4 + 3. 2 2

Ponieważ √ -- √ -- 3 < 5 dwa powyższe rozwiązania nie znajdują się w zbiorze √ -- √ -- (− ∞ ,4 − 2 5) ∪ (4+ 2 5,+ ∞ ) (czyli nie spełniają warunku z Δ -ą). Łatwo sprawdzić, że m = −2 jest w przedziale -- (− ∞ ,4− 2√ 5) .  
Odpowiedź: m = − 2

Wersja PDF