Zadanie nr 2421522
Wyznacz wszystkie liczby , dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
i
takie, że
.
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki
![2 2 0 < Δ = m − 4(2m + 1) = m − 8m − 4 Δ = 64 + 16 = 80 √ -- √ -- √ -- √ -- m = 8-−-4---5 = 4 − 2 5, m2 = 8+--4--5-= 4 + 2 5 1 2 √ -- √ -- 2 m ∈ (− ∞ ,4− 2 5)∪ (4+ 2 5,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/2421522/HzadR0x.gif)
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a
![{ x1 + x2 = −m x1x2 = 2m + 1](https://img.zadania.info/zad/2421522/HzadR1x.gif)
Musimy więc rozwiązać równanie.
![2 6 = x31 + x32 3 2 2 2 6 = (x1 + x2) − 3x1x2 − 3x 1x 2 2 6 = (x + x )3 − 3x x (x + x ) 1 2 1 2 1 2 2 6 = −m 3 + 3m (2m + 1) 3 2 m − 6m − 3m + 26 = 0.](https://img.zadania.info/zad/2421522/HzadR2x.gif)
Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 m − 6m − 3m + 2 6 = m + 2m − 8m − 16m + 13m + 26 = = m2(m + 2)− 8m (m + 2 )+ 13 (m + 2) = = (m 2 − 8m + 13)(m + 2).](https://img.zadania.info/zad/2421522/HzadR5x.gif)
Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie
![m 2 − 8m + 1 3 = 0 Δ = 64 − 52 = 1 2 √ -- √ -- √ -- √ -- m = 8-−-2--3-= 4 − 3 ∨ m = 8-+-2---3 = 4 + 3. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2421522/HzadR6x.gif)
Ponieważ dwa powyższe rozwiązania nie znajdują się w zbiorze
(czyli nie spełniają warunku z
-ą). Łatwo sprawdzić, że
jest w przedziale
.
Odpowiedź: