Zadanie nr 2999482
Dany jest trójmian kwadratowy . Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których trójmian
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
, spełniające warunek
.
Rozwiązanie
Jeżeli funkcja ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi to być funkcja kwadratowa, czyli
. Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.
![0 < Δ = 4(m − 2)2 − 4(m + 1)(−m + 4) = 4((m − 2)2 + (m + 1 )(m − 4)) = ( 7) = 4(m 2 − 4m + 4 + m 2 + m − 4m − 4) = 4(2m 2 − 7m ) = 8m m − -- . ( ) 2 7 m ∈ (− ∞ ,0) ∪ -,+ ∞ . 2](https://img.zadania.info/zad/2999482/HzadR2x.gif)
Przy powyższym założeniu możemy zapisać wzory Vièteá
![{ x1 + x2 = −-2m(m+-−12) = 4−m+2m1 −m-+-4 4−m- x1x2 = m +1 = m +1.](https://img.zadania.info/zad/2999482/HzadR3x.gif)
Przekształćmy teraz dany warunek tak, aby móc zastosować wzory Viète’a. Zauważmy, że założyliśmy, że , więc możemy dzielić przez
. Zauważmy ponadto, że gdyby
, to z powyższych wzorów Viète’a mielibyśmy
, a to jest sprzeczne z warunkiem na
–ę. Możemy więc dzielić przez
.
![2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 x1 − x2 = x 1 − x 2 = (x1 − x1)(x1 + x2) / : (x1 − x2) 1 = x 21 + x 22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 ( ) 2 4-−-2m- 4−--m- 2 1 = m + 1 − 2⋅ m + 1 / ⋅(m + 1) 2 2 (m + 1) = (4− 2m ) + 2 (m − 4)(m + 1) m 2 + 2m + 1 = 16− 16m + 4m 2 + 2m 2 + 2m − 8m − 8 0 = 5m 2 − 24m + 7.](https://img.zadania.info/zad/2999482/HzadR10x.gif)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![√ ---- Δ = 242 − 4⋅5 ⋅7 = 4 36 = (2 10 9)2 √ ---- √ ---- √ ---- √ ---- m = 24-−-2--10-9 = 1-2−----109 ≈ 0,3 lub m = 24+--2--109-= 12-+---109-≈ 4,5. 10 5 1 0 5](https://img.zadania.info/zad/2999482/HzadR11x.gif)
Tylko drugie z tych rozwiązań spełnia warunek z –ą.
Odpowiedź: