Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2999482

Dany jest trójmian kwadratowy  2 f(x) = (m + 1)x + 2(m − 2)x − m + 4 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 , spełniające warunek x 2− x 2= x4− x4 1 2 1 2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli funkcja f ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi to być funkcja kwadratowa, czyli m ⁄= −1 . Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

0 < Δ = 4(m − 2)2 − 4(m + 1)(−m + 4) = 4((m − 2)2 + (m + 1 )(m − 4)) = ( 7) = 4(m 2 − 4m + 4 + m 2 + m − 4m − 4) = 4(2m 2 − 7m ) = 8m m − -- . ( ) 2 7 m ∈ (− ∞ ,0) ∪ -,+ ∞ . 2

Przy powyższym założeniu możemy zapisać wzory Vièteá

{ x1 + x2 = −-2m(m+-−12) = 4−m+2m1 −m-+-4 4−m- x1x2 = m +1 = m +1.

Przekształćmy teraz dany warunek tak, aby móc zastosować wzory Viète’a. Zauważmy, że założyliśmy, że x1 ⁄= x2 , więc możemy dzielić przez x1 − x2 . Zauważmy ponadto, że gdyby x1 + x2 = 0 , to z powyższych wzorów Viète’a mielibyśmy m = 2 , a to jest sprzeczne z warunkiem na Δ –ę. Możemy więc dzielić przez  2 2 x1 − x2 = (x1 − x2)(x 1 + x 2) .

 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 x1 − x2 = x 1 − x 2 = (x1 − x1)(x1 + x2) / : (x1 − x2) 1 = x 21 + x 22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 ( ) 2 4-−-2m- 4−--m- 2 1 = m + 1 − 2⋅ m + 1 / ⋅(m + 1) 2 2 (m + 1) = (4− 2m ) + 2 (m − 4)(m + 1) m 2 + 2m + 1 = 16− 16m + 4m 2 + 2m 2 + 2m − 8m − 8 0 = 5m 2 − 24m + 7.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

 √ ---- Δ = 242 − 4⋅5 ⋅7 = 4 36 = (2 10 9)2 √ ---- √ ---- √ ---- √ ---- m = 24-−-2--10-9 = 1-2−----109 ≈ 0,3 lub m = 24+--2--109-= 12-+---109-≈ 4,5. 10 5 1 0 5

Tylko drugie z tych rozwiązań spełnia warunek z Δ –ą.  
Odpowiedź:  12+ √109 m = ----5---

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!