Zadanie nr 3012018
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 3x + (2k− 2)x+ 18 = 0](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadT1x.gif)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste i
, przy czym
, spełniające warunek
![(3x 1 − 2x2)2 + 45 = 14(3x 1 − 2x2).](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadT5x.gif)
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.
![2 2 √ -- 2 0 < Δ = (2k − 2) − √216 = (2k − 2 )√ −-(6 6 ) = √ -- √ -- = (2k − 2 − 6 6)(2k − 2 + 6 6) = 4(k− (1+ 3 6))(k− (1− 3 6)) √ -- √ -- k ∈ (− ∞ ,1− 3 6)∪ (1 + 3 6 ,+∞ ).](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR0x.gif)
Odnotujmy jeszcze, że i
.
Spróbujmy teraz rozszyfrować warunek jaki mają spełniać pierwiastki równania. Jeżeli oznaczymy , to warunek ten przyjmuje postać.
![t2 − 14t + 45 = 0 Δ = 196− 180 = 16 14-−-4- 14-+-4- t = 2 = 5 lub t = 2 = 9 .](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR4x.gif)
Mamy zatem lub
. Dodatkowo, na mocy wzorów Viète’a wiemy, że
![18- x 1x2 = 3 = 6.](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR7x.gif)
Pierwiastki spełniają więc jeden z układów równań
![{ { 3x1 − 2x2 = 5 lub 3x 1 − 2x2 = 9 x1x2 = 6 x 1x2 = 6](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR9x.gif)
Rozwiązujemy najpierw pierwszy układ – podstawiamy do drugiego równania.
![3x 1 − 5 x1 ⋅--------= 6 / ⋅2 2 2 3x 1 − 5x 1 − 1 2 = 0 Δ = 25 + 144 = 169 = 13 2 5−--13- 4- 5-+-13- x1 = 6 = − 3 lub x1 = 6 = 3.](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR11x.gif)
Stąd i
odpowiednio. Ponieważ rozwiązania mają być ujemne, drugą parę odrzucamy.
Podobnie rozwiązujemy drugi układ równań – podstawiamy do drugiego równania.
![x1 ⋅ 3x1 −-9-= 6 / ⋅ 2 2 3 x21 − 3x1 − 4 = 0 2 Δ = 9 + 16 = 25 = 5 3 − 5 3 + 5 x1 = ------= − 1 lub x1 = ------= 4. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR15x.gif)
Drugie rozwiązanie odrzucamy (bo jest dodatnie) i mamy .
Dla obu otrzymanych par pierwiastków ,
współczynnik
obliczamy ponownie stosując wzory Viète’a:
![2k-−-2-= −(x 1 + x 2) 3 3- 3- k− 1 = − 2(x 1 + x 2) ⇒ k = − 2 (x1 + x 2)+ 1 .](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR20x.gif)
Mamy zatem
![( ) k = − 3-⋅ − 4-− 9- + 1 = 2+ 27-+ 1 = 9 ,75 2 3 2 4 3 3 21 k = − --(x1 + x 2)+ 1 = − -(− 1 − 6) + 1 = ---+ 1 = 11 ,5 . 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3012018/HzadR21x.gif)
odpowiednio. Łatwo sprawdzić, że obie te wartości spełniają warunek z -ą.
Odpowiedź: lub