/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 3743653

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 − mx + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 takie, że x14+ x 42 = 46 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

2 0 < Δ = m √−--12 √ -- 0 < (m − 2 3)(m + 2 3) √ -- √ -- m ∈ (− ∞ ,−2 3)∪ (2 3 ,+∞ ).

Spróbujmy teraz zapisać sumę czwartych potęg przy pomocy sumy i iloczynu tak, aby móc skorzystać ze wzorów Viète’a.

4 4 2 2 2 2 2 ( 2 )2 2 x1 + x2 = (x 1 + x 2) − 2x 1x2 = (x 1 + x 2) − 2x 1x2 − 2(x1x 2).

Teraz korzystamy ze wzorów Viète’a.

( 2 )2 46 = m − 6 − 2 ⋅9 2 2 2 2 2 0 = (m − 6) − 8 = (m − 6 − 8)(m − 6+ 8 ) 0 = (m2 − 14)(m 2 + 2) m 2 = 14 √ --- √ --- m = − 14 ∨ m = 14.

Łatwo sprawdzić, że obie te liczby spełniają warunek z Δ -ą.  
Odpowiedź: √ --- m = − 14 lub √ --- m = 14

Wersja PDF