Zadanie nr 4231254
Oblicz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
takie, że
.
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki
![2 2 2 0 < Δ = (m√+-2) − 4(√m-+ 4) = m + 4m + 4 − 4m − 16 = m − 12 0 < (m − 2 3)(m + 2 3 ) √ -- √ -- m ∈ (− ∞ ,− 2 3) ∪ (2 3,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/4231254/HzadR0x.gif)
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a
![{ x1 + x2 = m + 2 x1x2 = m + 4](https://img.zadania.info/zad/4231254/HzadR1x.gif)
Ponieważ
![x3+ x3 = (x + x )3 − 3x2x − 3x x2 = (x + x )3 − 3x x (x + x ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2](https://img.zadania.info/zad/4231254/HzadR2x.gif)
musimy więc rozwiązać równanie.
![3 4 3 2 (m + 2 ) − 3(m + 4)(m + 2) = −m + m + 15m − 6m + 12 m 3 + 6m 2 + 12m + 8 − 3m 2 − 6m − 1 2m − 2 4 = −m 4 + m 3 + 15m 2 − 6m + 12 m 4 − 1 2m 2 − 28 = 0](https://img.zadania.info/zad/4231254/HzadR3x.gif)
Podstawiamy teraz .
![2 t − 12t − 28 = 0 Δ = 14 4+ 1 12 = 256 = 162 t = 12−--16-= − 2 ∨ t = 12-+-16-= 14. 2 2](https://img.zadania.info/zad/4231254/HzadR5x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy
![2 √ --- m = 14 ⇒ m = ± 14 .](https://img.zadania.info/zad/4231254/HzadR6x.gif)
Oczywiście liczby te spełniają warunek z -ą:
.
Odpowiedź: lub