Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4260470

Dany jest trójmian kwadratowy  2 f(x) = (2m + 9)x + 2 (2m + 3)x − 2m + 1 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 , spełniające warunek x 2− x 2= x4− x4 1 2 1 2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli funkcja f ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi to być funkcja kwadratowa, czyli m ⁄= − 92 . Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

0 < Δ = 4(2m + 3)2 − 4(2m + 9)(− 2m + 1 ) = 4((2m + 3)2 + (2m + 9)(2m − 1)) = ( 7) = 4(4m 2 + 12m + 9+ 4m 2 − 2m + 18m − 9) = 4 (8m 2 + 28m ) = 3 2m m + -- . ( ) 2 7 m ∈ − ∞ ,− -- ∪ (0,+ ∞ ). 2

Przy powyższym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x 2 = −-2(22mm++93)= −42mm+−96 −-2m+1 1−2m- x1x2 = 2m+ 9 = 2m+ 9.

Przekształćmy teraz dany warunek tak, aby móc zastosować wzory Viète’a. Zauważmy, że założyliśmy, że x1 ⁄= x2 , więc możemy dzielić przez x1 − x2 . Zauważmy ponadto, że gdyby x1 + x2 = 0 , to z powyższych wzorów Viète’a mielibyśmy m = − 3 2 , a to jest sprzeczne z warunkiem na Δ –ę. Możemy więc dzielić przez  2 2 x1 − x2 = (x1 − x2)(x 1 + x 2) .

 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 x1 − x2 = x1 − x2 = (x 1 − x 1)(x1 + x2) / : (x 1 − x 2) 1 = x21 + x22 = (x 1 + x 2)2 − 2x 1x2 ( ) 2 4m-+--6 1-−-2m- 2 1 = 2m + 9 − 2 ⋅2m + 9 / ⋅(2m + 9) 2 2 (2m + 9) = (4m + 6) − 2(1 − 2m )(2m + 9) 4m 2 + 36m + 81 = 16m 2 + 48m + 3 6− 2(− 4m 2 − 16m + 9) 0 = 20m 2 + 44m − 63.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

 2 √ ----2 Δ = 4 4 + 4⋅6√3-⋅20 = 6976 = (√8---109) − 44 − 8 109 − 11 − 2 1 09 m = --------------= -------------- ≈ − 3,2 lub 40 √ ---- 10 √ ---- −-44-+-8--1-09 −-1-1+-2---109 m = 40 = 10 ≈ 0 ,99.

Tylko drugie z tych rozwiązań spełnia warunek z Δ –ą.  
Odpowiedź:  √--- −-11+2-109 m = 10

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!