Zadanie nr 4260470
Dany jest trójmian kwadratowy . Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których trójmian
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
, spełniające warunek
.
Rozwiązanie
Jeżeli funkcja ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi to być funkcja kwadratowa, czyli
. Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.
![0 < Δ = 4(2m + 3)2 − 4(2m + 9)(− 2m + 1 ) = 4((2m + 3)2 + (2m + 9)(2m − 1)) = ( 7) = 4(4m 2 + 12m + 9+ 4m 2 − 2m + 18m − 9) = 4 (8m 2 + 28m ) = 3 2m m + -- . ( ) 2 7 m ∈ − ∞ ,− -- ∪ (0,+ ∞ ). 2](https://img.zadania.info/zad/4260470/HzadR2x.gif)
Przy powyższym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a
![{ x1 + x 2 = −-2(22mm++93)= −42mm+−96 −-2m+1 1−2m- x1x2 = 2m+ 9 = 2m+ 9.](https://img.zadania.info/zad/4260470/HzadR3x.gif)
Przekształćmy teraz dany warunek tak, aby móc zastosować wzory Viète’a. Zauważmy, że założyliśmy, że , więc możemy dzielić przez
. Zauważmy ponadto, że gdyby
, to z powyższych wzorów Viète’a mielibyśmy
, a to jest sprzeczne z warunkiem na
–ę. Możemy więc dzielić przez
.
![2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 x1 − x2 = x1 − x2 = (x 1 − x 1)(x1 + x2) / : (x 1 − x 2) 1 = x21 + x22 = (x 1 + x 2)2 − 2x 1x2 ( ) 2 4m-+--6 1-−-2m- 2 1 = 2m + 9 − 2 ⋅2m + 9 / ⋅(2m + 9) 2 2 (2m + 9) = (4m + 6) − 2(1 − 2m )(2m + 9) 4m 2 + 36m + 81 = 16m 2 + 48m + 3 6− 2(− 4m 2 − 16m + 9) 0 = 20m 2 + 44m − 63.](https://img.zadania.info/zad/4260470/HzadR10x.gif)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![2 √ ----2 Δ = 4 4 + 4⋅6√3-⋅20 = 6976 = (√8---109) − 44 − 8 109 − 11 − 2 1 09 m = --------------= -------------- ≈ − 3,2 lub 40 √ ---- 10 √ ---- −-44-+-8--1-09 −-1-1+-2---109 m = 40 = 10 ≈ 0 ,99.](https://img.zadania.info/zad/4260470/HzadR11x.gif)
Tylko drugie z tych rozwiązań spełnia warunek z –ą.
Odpowiedź: