Zadanie nr 4485187
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja kwadratowa
ma dwa różne pierwiastki
takie, że suma kwadratów odległości punktów
i
od prostej o równaniu
jest równa 6.
Rozwiązanie
Sprawdźmy na początek, kiedy dana funkcja ma dwa różne pierwiastki
.
![2 0 < Δ = (2m + 2) − 4(2m + 5) = = 4m 2 + 8m + 4− 8m − 2 0 = 4m 2 − 16 = 4(m − 2)(m + 2) m ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (2,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/4485187/HzadR2x.gif)
Przy tym założeniu równanie ma dwa różne pierwiastki spełniające wzory Viète’a
![{ x1 + x2 = 2m + 2 x1x 2 = 2m + 5.](https://img.zadania.info/zad/4485187/HzadR3x.gif)
Pozostało teraz sprawdzić, kiedy suma kwadratów odległości punktów i
od danej prostej jest równa 6. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
![|ax0√-+-by-0 +-c|. a2 + b2](https://img.zadania.info/zad/4485187/HzadR8x.gif)
W naszej sytuacji mamy równanie
![( ) 2 ( ) 2 6 = |√x1 +-1| + |x√2-+-1|- 1 + 1 1+ 1 x 2+ 2x + 1+ x 2+ 2x + 1 6 = --1-----1--------2-----2---- 2 (x-1 +-x-2)2 −-2x-1x2 +-2(x1 +-x2)+-2 6 = 2 2 6 = (x-1 +-x-2)-− x1x2 + (x1 + x2)+ 1. 2](https://img.zadania.info/zad/4485187/HzadR9x.gif)
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.
![2 6 = (2m-+-2)--− (2m + 5) + (2m + 2)+ 1 2 6 = 2(m + 1)2 − 2 / : 2 2 4 = (m + 1) m + 1 = − 2 ∨ m + 1 = 2 m = − 3 ∨ m = 1.](https://img.zadania.info/zad/4485187/HzadR10x.gif)
Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunek z -ą.
Odpowiedź: