Zadanie nr 4999320
Liczby i
są rozwiązaniami równania
z niewiadomą
. Oblicz wartości
i
.
Rozwiązanie
Na mocy wzorów Viète’a mamy
![{ 2 2 p + q = x1 + x2 = 1√0--- √ --- p + q = x 1x2 = (5+ 23)(5 − 23) = 25− 23 = 2.](https://img.zadania.info/zad/4999320/HzadR0x.gif)
Sposób I
Musimy rozwiązać powyższy układ równań. Wstawiamy do pierwszego równania
![p2 + (2 − p)2 = 1 0 2 2 p + 4 − 4p + p = 10 2p2 − 4p − 6 = 0 p2 − 2p − 3 = 0.](https://img.zadania.info/zad/4999320/HzadR2x.gif)
Dalej i
lub
. Wtedy
lub
odpowiednio.
Sposób II
Ponieważ
![10 = p2 + q2 = (p + q)2 − 2pq ⇒ pq = − 3.](https://img.zadania.info/zad/4999320/HzadR8x.gif)
Zatem na mocy wzorów Viète’a liczby i
są pierwiastkami równania
![p2 − 2p − 3 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/4999320/HzadR11x.gif)
Równanie to rozwiązujemy tak jak poprzednio. lub
.