/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 7753265

Wyznacz wszystkie liczby m ∈ R , dla których równanie 2 x + mx + m + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 i x2 takie, że x31 + x32 = 64 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

2 2 0 < Δ = m − 4(m + 4) = m − 4m − 16 Δ = 16 + 64 = 16⋅5 √ -- √ -- √ -- √ -- m = 4-−-4---5 = 2 − 2 5, m2 = 4+--4--5-= 2 + 2 5 1 2 √ -- √ -- 2 m ∈ (− ∞ ,2− 2 5)∪ (2+ 2 5,+ ∞ ).

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = −m x1x2 = m + 4

Musimy więc rozwiązać równanie.

6 4 = x31 + x32 3 2 2 6 4 = (x1 + x2) − 3x1x2 − 3x 1x 2 6 4 = (x + x )3 − 3x x (x + x ) 1 2 1 2 1 2 6 4 = −m 3 + 3m (m + 4) 3 2 m − 3m − 12m + 64 = 0.

Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest m = − 4 . Dzielimy wielomian przez (m + 4 ) – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 m − 3m − 12m + 64 = m + 4m − 7m − 28m + 1 6m + 64 = = m 2(m + 4) − 7m (m + 4)+ 16(m + 4) = = (m 2 − 7m + 16 )(m + 4).

Trójmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków (bo Δ < 0 ), wiec jedynym rozwiązaniem jest m = −4 . Łatwo sprawdzić, że wartość ta spełnia warunek z Δ -ą.  
Odpowiedź: m = − 4

Wersja PDF