Zadanie nr 7753265
Wyznacz wszystkie liczby , dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
i
takie, że
.
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a

Musimy więc rozwiązać równanie.

Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.

Trójmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków (bo ), wiec jedynym rozwiązaniem jest
. Łatwo sprawdzić, że wartość ta spełnia warunek z
-ą.
Odpowiedź: