Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8620539

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 + mx − 2m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek (x31 − x32)(x21 − x22) = 7m 2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

 2 0 < Δ = m + 8m = m(m + 8) ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 8) ∪ (0,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy napisać wzory Viète’a.

{ x1 + x2 = −m x1x2 = − 2m .

Spróbujemy teraz przekształcić lewą stronę podanej równości, tak aby móc skorzystać ze wzorów Viète’a. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Zauważmy, że

 2 2 3 3 2 2 (x1 − x2)(x1 − x2)( = (x 1 − x 2)(x 1 + x) 2)(x1 − x2)(x1 + x1x2 + x2) = = −m (x − x )2 (x + x )2 − x x = −m (x2 + x 2− 2x x )(m 2 + 2m ) = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = −m 2((x + x )2 − 4x x )(m + 2) = −m 2(m 2 + 8m )(m + 2). 1 2 1 2

Pozostało teraz rozwiązać równanie

−m 2(m 2 + 8m )(m + 2 ) = 7m 2.

Oczywiście jednym z rozwiązań jest m = 0 , ale liczba ta nie spełnia warunku z Δ -ą, więc możemy założyć, że m ⁄= 0 i podzielić równanie stronami przez  2 m .

7 = − (m2 + 8m )(m + 2) = −m 3 − 10m 2 − 1 6m m3 + 10m 2 + 16m + 7 = 0.

Szukamy teraz wymiernych pierwiastków tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jednym z pierwiastków jest m = − 1 , więc dzielimy wielomian z lewej strony przez m + 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 m + 1 0m + 16m + 7 = (m + m )+ (9m + 9m ) + (7m + 7) = = m2(m + 1)+ 9m (m + 1 )+ 7(m + 1) = (m + 1)(m 2 + 9m + 7 ).

Rozkładamy teraz trójmian w nawiasie.

Δ = 81 − 28 = 53 − 9 − √ 53- − 9+ √ 53- m = -----------≈ − 8,1 lub m = -----------≈ − 0,9 . 2 2

W takim razie jedyną wartością m spełniającą warunki zadania jest  √ -- m = −-9−2-53 .

Sposób II

Zauważmy najpierw, że

x 21 + x 22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = m 2 + 4m .

Przekształcamy teraz lewą stronę danej równości. Zauważmy, że

(x21 − x22)(x31 − x32) = x 51 − x 21x32 − x22x31 + x52 = (x51 + x52) − x21x 22(x1 + x2) = 4 3 2 2 3 4 3 = (x1 + x2)(x1 − x1x 2 + x 1x2 − x1x2 + x2)+ 4m = = −m (x4+ x4− x x (x2 + x2) + (x x )2) + 4m 3 = 1 2 1 2 1 2 1 2 = −m ((x21 + x22)2 − 2x21x22 + 2m (m 2 + 4m )+ 4m 2) + 4m 3 = 2 2 2 3 2 2 3 = −m ((m + 4m ) − 8m + 2m + 8m + 4m ) + 4m = = −m 2(m 3 + 10m 2 + 20m − 4m ) = −m 2(m 3 + 1 0m 2 + 16m )

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź:  −-9−√-53- m = 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!