Zadanie nr 9571692
Dla jakich wartości parametru suma kwadratów różnych pierwiastków równania
![x 2 − 2x sinα − c os2α = 0](https://img.zadania.info/zad/9571692/HzadT1x.gif)
jest równa 3?
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.
![2 2 0 < Δ = 4sin α+ 4cos α = 4](https://img.zadania.info/zad/9571692/HzadR0x.gif)
Nierówność ta jest zawsze spełniona, więc równanie ma zawsze dwa pierwiastki .
Na mocy wzorów Viète’a mamy
![{ x1 + x2 = 2sin α 2 x1x2 = − co s α.](https://img.zadania.info/zad/9571692/HzadR2x.gif)
Musimy rozwiązać równanie
![2 2 2 2 2 3 = x1 + x2 = (x1 + x2) − 2x1x1 = 4sin α + 2 cos α 3 = 2sin2α + 2 (sin2 α + cos2α ) 3 = 2sin2α + 2 1 sin 2α = -- √2-- √ -- --2- --2- sin α = 2 ∨ sinα = − 2 .](https://img.zadania.info/zad/9571692/HzadR3x.gif)
Szkicujemy teraz sinusa.
Z wykresu odczytujemy rozwiązanie:
![π π α = --+ k ⋅--, k ∈ C. 4 2](https://img.zadania.info/zad/9571692/HzadR5x.gif)
Odpowiedź: