/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 9610296

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 x − (m + 1)x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 , spełniające warunki:

1 1 1 1 x 1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz ---+ ---+ 2 = --+ --- x 1 x2 x21 x22
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

2 2 2 0 < Δ = (m + 1) − 4m = m − 2m + 1 = (m − 1 ) m ⁄= 1 .

Pierwiastki mają być dodatkowo niezerowe, więc musi też być m ⁄= 0 (bo x = 0 jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy m = 0 ). Przy tych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x2 = m + 1 x1x2 = m

Musimy więc rozwiązać równanie.

1-- -1- -1- -1- x + x + 2 = x2 + x 2 1 2 1 2 x1-+-x2- x21-+-x22- 2 x x + 2 = (x x )2 / ⋅(x1x2) 1 2 2 1 2 2 (x1 + x2)x1x2 + 2(x1x 2) = (x1 + x2) − 2x1x2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

2 2 (m + 1 )m + 2m = (m + 1) − 2m 3m 2 + m = m2 + 2m + 1− 2m 2 2m + m − 1 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 m = −-1-−-3 = − 1 lub m = −1-+-3-= 1-. 4 4 2

Obie otrzymane wartości spełniają poczynione wcześniej założenia.  
Odpowiedź: m = − 1 lub m = 1 2

Wersja PDF