Zadanie nr 9610296
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 x − (m + 1)x + m = 0](https://img.zadania.info/zad/9610296/HzadT1x.gif)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunki:
![1 1 1 1 x 1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz ---+ ---+ 2 = --+ --- x 1 x2 x21 x22](https://img.zadania.info/zad/9610296/HzadT4x.gif)
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
![2 2 2 0 < Δ = (m + 1) − 4m = m − 2m + 1 = (m − 1 ) m ⁄= 1 .](https://img.zadania.info/zad/9610296/HzadR0x.gif)
Pierwiastki mają być dodatkowo niezerowe, więc musi też być (bo
jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy
). Przy tych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a
![{ x1 + x2 = m + 1 x1x2 = m](https://img.zadania.info/zad/9610296/HzadR4x.gif)
Musimy więc rozwiązać równanie.
![1-- -1- -1- -1- x + x + 2 = x2 + x 2 1 2 1 2 x1-+-x2- x21-+-x22- 2 x x + 2 = (x x )2 / ⋅(x1x2) 1 2 2 1 2 2 (x1 + x2)x1x2 + 2(x1x 2) = (x1 + x2) − 2x1x2.](https://img.zadania.info/zad/9610296/HzadR5x.gif)
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.
![2 2 (m + 1 )m + 2m = (m + 1) − 2m 3m 2 + m = m2 + 2m + 1− 2m 2 2m + m − 1 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 m = −-1-−-3 = − 1 lub m = −1-+-3-= 1-. 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/9610296/HzadR6x.gif)
Obie otrzymane wartości spełniają poczynione wcześniej założenia.
Odpowiedź: lub