/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 9701103

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

(3− m) ⋅x2 + (m + 1)⋅x − (m + 1)2 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek

x2+ x2= x1 ⋅x2 + 7. 1 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli równanie ma mieć dwa pierwiastki, to musi być kwadratowe, czyli m ⁄= 3 . Ponadto,

 0 < Δ = (m + 1)2 + 4(3− m )(m + 1)2 = (m + 1)2(1 + 4(3 − m )) = ( 13 ) = (m + 1)2(13 − 4m ) = −4 (m + 1)2 m − --- / : (−4 ) ( ) 4 2 13 0 > (m + 1) m − --- ( 4 ) 13- m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ − 1,4 .

W połączeniu z warunkiem m ⁄= 3 , mamy więc

 ( ) m ∈ (− ∞ ,−1 )∪ (− 1,3) ∪ 3 , 13 . 4

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = − m3+−m1= mm+−-13 −(m-+1)2 (m+-1)2 x1x 2 = 3−m = m− 3

Musimy rozwiązać równanie.

 2 2 x1 + x2 = x 1x2 + 7 (x + x )2 − 2x x = x x + 7 1 2 1 2 1 2 (x1 + x2)2 − 3x1x2 − 7 = 0.

Podstawiamy teraz wyrażenia ze wzorów Viète’a.

( ) 2 2 m--+-1 − 3⋅ (m-+-1-)-− 7 = 0 / ⋅(m − 3)2 m − 3 m − 3 (m + 1)2 − 3 (m + 1)2(m − 3)− 7(m − 3)2 = 0 (m + 1)2(1− 3(m − 3)) − 7(m 2 − 6m + 9) = 0 2 2 (m + 2m + 1)(1 0− 3m ) − 7m + 42m − 63 = 0 0 = 3m 3 + 3m 2 − 59m + 53

Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest m = 1 . Dzielimy wielomian przez (m − 1 ) – my zrobimy to grupując wyrazy.

3m 3 + 3m 2 − 59m + 53 = 3m 3 − 3m 2 + 6m 2 − 6m − 53m + 53 = 2 = 3m (m − 1)+ 6m (m − 1 )− 53 (m − 1) = = (3m 2 + 6m − 53)(m − 1).

Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie

 2 3m + 6m − 5 3 = 0 / : 2 3- 2 53- 2 m + 3m − 2 = 0 √ ---2 Δ = 9+ 159√=-16 8 = (2 42) √ --- − 3 − 2 42 − 3+ 2 42 m = ------------ lub m = -----------. 3 3

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne i nie jest równe − 1 , więc na pewno spełnia warunek z Δ –ą. Natomiast drugie rozwiązanie

 √ --- −-3+--2--42-≈ 3,32 > 3,25 = 13- 3 4

warunku z Δ –ą nie spełnia.  
Odpowiedź: m = 1 lub  √-- m = −-3−-2-42 3

Wersja PDF
spinner