Zadanie nr 9701103
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
Rozwiązanie
Jeżeli równanie ma mieć dwa pierwiastki, to musi być kwadratowe, czyli . Ponadto,
W połączeniu z warunkiem , mamy więc
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a
Musimy rozwiązać równanie.
Podstawiamy teraz wyrażenia ze wzorów Viète’a.
Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy wielomian przez – my zrobimy to grupując wyrazy.
Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie
Pierwsze rozwiązanie jest ujemne i nie jest równe , więc na pewno spełnia warunek z –ą. Natomiast drugie rozwiązanie
warunku z –ą nie spełnia.
Odpowiedź: lub