Zadanie nr 9783035
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których jeden z pierwiastków równania
![4x 2 − 35x + m2 = 0](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadT1x.gif)
jest kwadratem drugiego pierwiastka. Oblicz te pierwiastki.
Rozwiązanie
Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa pierwiastki
![2 2 0 < Δ = 35 − 16(m / : ()− 1(6 ) ) 2 352 35 35 0 > m − 16--= m − 4-- m + -4- ( ) 35- 35- m ∈ − 4 ,4 .](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR0x.gif)
Przy tym założeniu, na mocy wzorów Viète’a mamy
![{ x1 + x2 = 35 m-2 4 x1x2 = 4 .](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR1x.gif)
Wiemy ponadto, że , czyli
![{ x1 + x21 = 354 3 m-2 x1 = 4 .](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR3x.gif)
Rozwiążmy pierwsze równanie kwadratowe
![35 x21 + x1 − ---= 0 4 Δ = 1 + 35 = 36 − 1 − 6 7 − 1+ 6 5 x1 = ------- = − -- ∨ x1 = ------- = --. 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR4x.gif)
Pierwsza możliwość daje
![m 2 3 343 --- = x 1 = − ---, 4 8](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR5x.gif)
co jest niemożliwe. Zatem oraz
![m 2 3 125 ---= x1 = ---- 4 8 m2 = 125- ∘2 ---- ∘ -- √ --- 125 5 5 10 m = ± ----= ± 5 --= ± ------. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR7x.gif)
Otrzymujemy wtedy równanie
![2 125 4x − 3 5x+ ----= 0, 2](https://img.zadania.info/zad/9783035/HzadR8x.gif)
którego pierwiastkami są i
.
Odpowiedź: