/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Równania z pierwiastkami

Zadanie nr 9796789

Wyznacz te wartości parametru a , dla których różne pierwiastki x1 i x2 równania x 2 − 3x − a+ 1 = 0 spełniają warunek 3x1 − 2x2 = 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Powinniśmy zacząć od sprawdzenia kiedy dane równanie ma dwa różne pierwiastki. Zostawimy to jednak sobie na koniec – sprawdzimy czy otrzymane wartości a są poprawne.

Ze wzorów na pierwiastki mamy

√ -- √ -- 3 − Δ 3+ Δ 4 = 3x1 − 2x2 = 3 ⋅--------− 2⋅ -------- 2 2

lub

√ -- √ -- 3 + Δ 3− Δ 4 = 3x 1 − 2x 2 = 3 ⋅-------− 2⋅ -------, 2 2

gdzie Δ = 9+ 4a− 4 = 5 + 4a . Rozwiążemy oba te równania.

√ -- √ -- 8 = 9 − 3 Δ − 6− 2 Δ √ -- 5 Δ = − 5.

Równanie to jest oczywiście sprzeczne. Teraz druga możliwość

√ -- √ -- 8 =√-9 + 3 Δ − 6+ 2 Δ 5 Δ = 5 Δ = 1 5+ 4a = 1 4a = − 4 ⇒ a = − 1.

Z powyższego rachunku jest jasne, że dla a = − 1 , mamy Δ = 1 > 0 .

Sposób II

Podobnie jak poprzednio, sprawdzenie czy Δ > 0 zostawmy sobie na koniec. Na mocy wzorów Viète’a mamy x 1 + x 2 = 3 co daje nam układ równań

{ x1 + x2 = 3 3x1 − 2x2 = 4

Dodając do drugiego równania podwojone pierwsze (żeby skrócić x2 ) mamy

5x1 = 1 0 ⇒ x1 = 2.

Zatem x2 = 3 − x1 = 1 . Sprawdźmy teraz kiedy x1 = 2 jest pierwiastkiem

4 − 6 − a + 1 = 0 ⇒ a = − 1.

Na koniec musimy jeszcze sprawdzić, czy x2 = 1 jest pierwiastkiem – jeżeli to zrobimy, nie musimy już sprawdzać Δ -y.  
Odpowiedź: a = − 1

Wersja PDF