Zadanie nr 9796789
Wyznacz te wartości parametru , dla których różne pierwiastki
i
równania
spełniają warunek
.
Rozwiązanie
Sposób I
Powinniśmy zacząć od sprawdzenia kiedy dane równanie ma dwa różne pierwiastki. Zostawimy to jednak sobie na koniec – sprawdzimy czy otrzymane wartości są poprawne.
Ze wzorów na pierwiastki mamy
![√ -- √ -- 3 − Δ 3+ Δ 4 = 3x1 − 2x2 = 3 ⋅--------− 2⋅ -------- 2 2](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR1x.gif)
lub
![√ -- √ -- 3 + Δ 3− Δ 4 = 3x 1 − 2x 2 = 3 ⋅-------− 2⋅ -------, 2 2](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR2x.gif)
gdzie . Rozwiążemy oba te równania.
![√ -- √ -- 8 = 9 − 3 Δ − 6− 2 Δ √ -- 5 Δ = − 5.](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR4x.gif)
Równanie to jest oczywiście sprzeczne. Teraz druga możliwość
![√ -- √ -- 8 =√-9 + 3 Δ − 6+ 2 Δ 5 Δ = 5 Δ = 1 5+ 4a = 1 4a = − 4 ⇒ a = − 1.](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR5x.gif)
Z powyższego rachunku jest jasne, że dla , mamy
.
Sposób II
Podobnie jak poprzednio, sprawdzenie czy zostawmy sobie na koniec. Na mocy wzorów Viète’a mamy
co daje nam układ równań
![{ x1 + x2 = 3 3x1 − 2x2 = 4](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR10x.gif)
Dodając do drugiego równania podwojone pierwsze (żeby skrócić ) mamy
![5x1 = 1 0 ⇒ x1 = 2.](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR12x.gif)
Zatem . Sprawdźmy teraz kiedy
jest pierwiastkiem
![4 − 6 − a + 1 = 0 ⇒ a = − 1.](https://img.zadania.info/zad/9796789/HzadR15x.gif)
Na koniec musimy jeszcze sprawdzić, czy jest pierwiastkiem – jeżeli to zrobimy, nie musimy już sprawdzać
-y.
Odpowiedź: