Zadanie nr 2245182

Dla jakich wartości parametru m ∈ R równanie x x 25 + (2m + 1)⋅ 5 + 9 = 0 ma dwa różne rozwiązania?

Rozwiązanie

Podstawiając x 5 = t mamy równanie

2 t + (1 + 2m )t+ 9 = 0

Jeżeli zapiszemy równość x 5 = t w postaci

x log5 5 = log5 t ⇒ x = log5t,

to widać, że równanie będzie miało dwa rozwiązania jeżeli będą dwie dodatnie wartości , czyli gdy równanie

t2 + (2m + 1)t+ 9 = 0

ma dwa pierwiastki dodatnie.

Na początek sprawdźmy kiedy to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

2 0 < Δ = (2m + 1) − 36 = (2m +( 1 − 6)()2m( + 1 +)6) = 5 7 = (2m − 5)(2m + 7) = 4 m − 2- m + 2- ( ) ( ) 7- 5- m ∈ − ∞ ,− 2 ∪ 2,+ ∞ .

Pozostało ustalić kiedy pierwiastki są dodatnie. Tak będzie gdy ich suma i iloczyn są dodatnie, czyli na mocy wzorów Viéte’a

0 < t1t2 = 9 1 0 < t1 + t2 = − (2m + 1) = − 2m − 1 ⇒ m < − -. 2

W połączeniu z warunkiem na -ę mamy 7 m < − 2 .
Odpowiedź: m < − 72