Zadanie nr 4883532

Określ funkcję która każdemu argumentowi m ∈ R przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania

(m − 1)4x − 4 ⋅2x + m + 2 = 0.

Naszkicuj wykres tej funkcji.

Rozwiązanie

Podstawiając x t = 2 mamy równanie

2 (m − 1)t − 4t + m + 2 = 0.

Jeżeli zapiszemy warunek x t = 2 w postaci

x log 2t = log2 2 log 2t = x,

to widać, że ilość rozwiązań wyjściowego równania jest taka sama jak ilość dodatnich rozwiązań powyższego równania kwadratowego.

Sprawdźmy najpierw co się dzieje gdy równanie to nie jest kwadratowe, czyli dla m = 1 . Mamy wtedy

3 − 4t+ 3 = 0 ⇒ t = --. 4

Jest zatem jedno rozwiązanie dodatnie.

Sprawdźmy teraz kiedy równanie w ogóle nie ma rozwiązań.

2 0 > Δ = 16 − 4(m − 1)(m + 2 ) = 4(4− m − m + 2) 0 < m 2 + m − 6 Δ = 1+ 2 4 = 25 m 1 = − 3, m 2 = 2 m ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (2,+ ∞ ).

Sprawdźmy teraz co się dzieje jak są pierwiastki. Na początku ustalmy kiedy są one niedodatnie (wtedy wyjściowe równanie nie ma rozwiązań). Na mocy wzorów Viéte’a tak będzie gdy

0 ≤ t t = m-+--2 ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ (1,+ ∞ ) 1 2 m − 1 4 0 ≥ t1 + t2 = ------ ⇒ m < 1 m − 1 m ∈ (− ∞ ,− 2⟩.

W połączeniu z warunkiem z -ą oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań dla

m ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ (2,+ ∞ ).

Sprawdźmy teraz kiedy jest jedno, a kiedy są dwa rozwiązania dodatnie. Jeszcze raz korzystając ze wzorów Viéte’a, dwa rozwiązania dodatnie są gdy Δ > 0 (czyli m ⁄= − 3 i m ⁄= 2 ) i