Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4883532

Określ funkcję która każdemu argumentowi m ∈ R przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania

(m − 1)4x − 4 ⋅2x + m + 2 = 0.

Naszkicuj wykres tej funkcji.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Podstawiając  x t = 2 mamy równanie

 2 (m − 1)t − 4t + m + 2 = 0.

Jeżeli zapiszemy warunek  x t = 2 w postaci

 x log 2t = log2 2 log 2t = x,

to widać, że ilość rozwiązań wyjściowego równania jest taka sama jak ilość dodatnich rozwiązań powyższego równania kwadratowego.

Sprawdźmy najpierw co się dzieje gdy równanie to nie jest kwadratowe, czyli dla m = 1 . Mamy wtedy

 3 − 4t+ 3 = 0 ⇒ t = --. 4

Jest zatem jedno rozwiązanie dodatnie.

Sprawdźmy teraz kiedy równanie w ogóle nie ma rozwiązań.

 2 0 > Δ = 16 − 4(m − 1)(m + 2 ) = 4(4− m − m + 2) 0 < m 2 + m − 6 Δ = 1+ 2 4 = 25 m 1 = − 3, m 2 = 2 m ∈ (−∞ ,− 3) ∪ (2,+ ∞ ).

Sprawdźmy teraz co się dzieje jak są pierwiastki. Na początku ustalmy kiedy są one niedodatnie (wtedy wyjściowe równanie nie ma rozwiązań). Na mocy wzorów Viéte’a tak będzie gdy

0 ≤ t t = m-+--2 ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ (1,+ ∞ ) 1 2 m − 1 4 0 ≥ t1 + t2 = ------ ⇒ m < 1 m − 1 m ∈ (− ∞ ,− 2⟩.

W połączeniu z warunkiem z Δ -ą oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań dla

m ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ (2,+ ∞ ).

Sprawdźmy teraz kiedy jest jedno, a kiedy są dwa rozwiązania dodatnie. Jeszcze raz korzystając ze wzorów Viéte’a, dwa rozwiązania dodatnie są gdy Δ > 0 (czyli m ⁄= − 3 i m ⁄= 2 ) i

 m + 2 0 < t1t2 = ------ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (1,+ ∞ ) m − 1 --4--- 0 < t1 + t2 = m − 1 ⇒ m > 1 m ∈ (1 ,+∞ ).

Zatem wszystko wiemy. Funkcja ilości pierwiastków wyraża się wzorem

 ( |{ 0 dla m ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ (2 ,+ ∞ ) f (m) = 1 dla m ∈ (− 2,1⟩ ∪ {2} |( 2 dla m ∈ (1,2).

Teraz bez trudu szkicujemy wykres.


PIC


 
Odpowiedź: ( |{ 0 dla m ∈ (− ∞ ,− 2⟩ ∪ (2,+ ∞ ) 1 dla m ∈ (− 2 ,1 ⟩∪ {2 } |( 2 dla m ∈ (1 ,2).

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!