Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4924794

Dane jest równanie  -1 |2x − 4| = p z parametrem p . Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru p .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

W miarę łatwo jest narysować wykres lewej strony równania. Zaczynamy od  −x y = 2 , potem przesuwamy go o 4 jednostki w dół i część pod osią Ox zaginamy do góry.


PIC

Z wykresu widać, że równanie nie ma rozwiązań dla p < 0 , ma dwa rozwiązania dla p ∈ (0,4) , i ma jedno rozwiązanie dla p = 0 lub p ≥ 4 .

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać algebraicznie. Równanie |x| = p nie ma rozwiązań jeżeli p < 0 , ma jedno rozwiązanie x = 0 jeżeli p = 0 , i ma dwa rozwiązania x = ±p jeżeli p > 0 .

Zgodnie z powyższą uwagą, dane równanie nie ma rozwiązań dla p < 0 . Druga możliwość, to p = 0 , czyli

 1 1 -x-− 4 = 0 ⇒ 2x = -- ⇒ x = − 2 . 2 4

Mamy wtedy jedno rozwiązanie.

Ostatnia możliwość to p > 0 . Mamy wtedy -1 2x − 4 = −p lub -1 2x − 4 = p . To daje nam dwa rozwiązania chyba, że akurat któraś z tych równości jest sprzeczna. Jeżeli zapiszemy je w postaci

-1-= 4− p 2x 1 -x-= p + 4, 2

to widać, że drugie równanie będzie zawsze miało rozwiązanie (bo p > 0 ). Pierwsze natomiast będzie miało rozwiązanie o ile

4 − p > 0 ⇐ ⇒ p < 4.

Zatem dla p ≥ 4 rozwiązanie jest tylko jedno.  
Odpowiedź: Liczba rozwiązań: ( | 0 dla p < 0 { | 1 dla p ∈ {0 }∪ ⟨4 + ∞ ) ( 2 dla p ∈ (0,4)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!