/Szkoła średnia/Równania/Wykładnicze/Z parametrem

Zadanie nr 7157602

Dla jakich wartości parametru m równanie x x+ 1 2 4 + (2m + 1)2 + 4m − 5 = 0 nie ma rozwiązań?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawiając x t = 2 mamy równanie

x x 2 4 + 2(2m + 1)2 + 4m − 5 = 0 t2 + 2 (2m + 1)t + 4m 2 − 5 = 0.

Jeżeli zapiszemy t = 2x w postaci

log 2t = log2 2x log 2t = x.

to widać, że równanie nie będzie miało rozwiązań gdy powyższe równanie kwadratowe nie ma rozwiązań lub gdy oba rozwiązania są niedodatnie.

Sprawdźmy najpierw kiedy Δ < 0 .

0 > Δ = 4(2m + 1)2 − 4(4m 2 − 5) = 4(4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 + 5) = 4 (4m + 6) 3 0 > 2m + 3 ⇒ m < − --. 2

Jeżeli Δ ≥ 0 to, na mocy wzorów Viéte’a, rozwiązania są niedodatnie gdy

( ) ( √ --) ( √ -- ) 0 ≤ t t = 4m 2 − 5 = 4 m 2 − 5- ⇒ m ∈ − ∞ ,− --5- ∪ --5-,+ ∞ 1 2 4 2 2 0 ≥ t1 + t2 = − 2(2m + 1 ) ⇒ − 1-≤ m √ -- 2 5 m ≥ ---. 2

 
Odpowiedź: √- m ∈ (− ∞ ,− 32)∪ ⟨ 25,+ ∞ )

Wersja PDF