Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3569793

W półkole o średnicy AB wpisano okrąg styczny do średnicy AB w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu AB , do wpisanego okręgu oraz do średnicy AB jeżeli |AB | = 2R .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Wyliczymy na dwa sposoby długość odcinka SE w zależności od promienia r mniejszego okręgu i R , co pozwoli wyliczyć r w zależności od R .

Ponieważ mały okrąg i półokrąg są styczne wewnętrznie to SD = R − r . Z trójkąta prostokątnego SDE mamy

 2 2 2 2 2 2 SE = SD − DE = (R − r) − r = R − 2Rr .

Z drugiej strony,

 ( )2 ( ) 2 SE 2 = SO 2 − OE 2 = R-+ r − R-− r = 2Rr. 2 2

Mamy zatem

R 2 − 2Rr = 2Rr 2 R = 4Rr R = 4r.

 
Odpowiedź: R- 4

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!