Zadanie nr 5788829
Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Jeżeli oznaczymy przez promień dużego okręgu, a przez
i
promienie mniejszych, to trójkąt, o którym mowa w zadaniu ma boki długości
. Musimy teraz się zastanowić, które dwa z nich są równe. Jeżeli
, to musi być

(bo trójkąt musi mieć boki 2,2,1, nie ma trójkąta o bokach 1,1,2). Z drugiej równości mamy , co nam daje
.
Jeżeli natomiast , to
musi być równe
lub
. Ewentualnie zmieniając oznaczenia, możemy założyć, że zachodzi pierwszy z tych przypadków, czyli

Mamy zatem

Stąd i
.
Odpowiedź: lub