Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trzy okręgi styczne, 5788829

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Trzy okręgi styczne

Zadanie nr 5788829

Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Jeżeli oznaczymy przez $R$ promień dużego okręgu, a przez $r1$ i $r2$ promienie mniejszych, to trójkąt, o którym mowa w zadaniu ma boki długości $r + r ,R − r ,R − r 1 2 1 2$ . Musimy teraz się zastanowić, które dwa z nich są równe. Jeżeli $r1 = r2$ , to musi być

{ R − r1 = R − r2 = 2 r1 + r2 = 1

(bo trójkąt musi mieć boki 2,2,1, nie ma trójkąta o bokach 1,1,2). Z drugiej równości mamy $r = r = 1 1 2 2$ , co nam daje $R = 2 + r = 5 1 2$ .

Jeżeli natomiast $r1 ⁄= r2$ , to $r1 + r2$ musi być równe $R − r1$ lub $R − r2$ . Ewentualnie zmieniając oznaczenia, możemy założyć, że zachodzi pierwszy z tych przypadków, czyli