/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Trzy okręgi styczne

Zadanie nr 5788829

Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez R promień dużego okręgu, a przez r1 i r2 promienie mniejszych, to trójkąt, o którym mowa w zadaniu ma boki długości r + r ,R − r ,R − r 1 2 1 2 . Musimy teraz się zastanowić, które dwa z nich są równe. Jeżeli r1 = r2 , to musi być

{ R − r1 = R − r2 = 2 r1 + r2 = 1

(bo trójkąt musi mieć boki 2,2,1, nie ma trójkąta o bokach 1,1,2). Z drugiej równości mamy r = r = 1 1 2 2 , co nam daje R = 2 + r = 5 1 2 .

Jeżeli natomiast r1 ⁄= r2 , to r1 + r2 musi być równe R − r1 lub R − r2 . Ewentualnie zmieniając oznaczenia, możemy założyć, że zachodzi pierwszy z tych przypadków, czyli

{ R − r1 = r1 + r2 = 2 R − r2 = 1.

Mamy zatem

5 3 = (R − r1)+ (R − r2) = 2R − (r1 + r2) = 2R − 2 ⇒ R = -. 2

Stąd r2 = R − 1 = 32 i r1 = 2 − r2 = 12 .  
Odpowiedź: 5, 1, 1 2 2 2 lub 5, 3, 1 2 2 2

Wersja PDF