Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5788829

Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Jeżeli oznaczymy przez R promień dużego okręgu, a przez r1 i r2 promienie mniejszych, to trójkąt, o którym mowa w zadaniu ma boki długości r + r ,R − r ,R − r 1 2 1 2 . Musimy teraz się zastanowić, które dwa z nich są równe. Jeżeli r1 = r2 , to musi być

{ R − r1 = R − r2 = 2 r1 + r2 = 1

(bo trójkąt musi mieć boki 2,2,1, nie ma trójkąta o bokach 1,1,2). Z drugiej równości mamy r = r = 1 1 2 2 , co nam daje R = 2 + r = 5 1 2 .

Jeżeli natomiast r1 ⁄= r2 , to r1 + r2 musi być równe R − r1 lub R − r2 . Ewentualnie zmieniając oznaczenia, możemy założyć, że zachodzi pierwszy z tych przypadków, czyli

{ R − r1 = r1 + r2 = 2 R − r2 = 1.

Mamy zatem

 5 3 = (R − r1)+ (R − r2) = 2R − (r1 + r2) = 2R − 2 ⇒ R = -. 2

Stąd r2 = R − 1 = 32 i r1 = 2 − r2 = 12 .  
Odpowiedź: 5, 1, 1 2 2 2 lub 5, 3, 1 2 2 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!