/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Trzy okręgi styczne

Zadanie nr 5906819

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na średnicy AB półokręgu o3 wybrano punkt C i na odcinkach AC i CB jako na średnicach skonstruowano półokręgi o1 i o2 . Odcinek CD jest odcinkiem wspólnej stycznej półokręgów o1 i o2 . Oblicz długość odcinka CD jeżeli promienie półokręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki AD i BD .

PIC

Wiemy, że AB jest średnicą okręgu o3 , więc trójkąt ABD jest prostokątny. Prosta CD jako styczna do o 1 i o2 jest prostopadła do prostej łączącej środki tych okręgów, czyli do AB . W takim razie CD jest wysokością w trójkącie ABD .

Aby obliczyć długość odcinka CD zauważmy, że trójkąty ADC i BDC są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta ABD ). W takim razie

AC--= CD-- CD CB CD 2 = AC ⋅CB = 2r ⋅2r = 4r r √ ---- 1 2 1 2 CD = 2 r1r2.

 
Odpowiedź: 2√r-1r2

Wersja PDF